КРАЕВСКИЙ — КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИновения (он равен углу Т^тТ^ между касательными плоскостями к этим поверхностям
Рис. 1.
Рис. 2.
в точке их соприкосновения). Величина К. у. зависит исключительно от рода соприкасающихся тел: для жидкостей, смачивающих твердое тело, К. у. острый (см. рис. 1);для несмачивающих жидкостей (см. рисунок 2) К. у. тупой.
При соприкосновении двух жидкостей (напр. капля одной жидкости лежит на поверхности другой) К. у. также может быть острым (см. рис. 3) (смачивающие друг друга жидкости) и тупым (рис. 4) (несмачивающие друг друга жидкости).
КРАЕВСКИЙ, Андрей Александрович (1810—1889), деятель русской журналистики 19 века. Редактор-издатель журнала «Отечественные записки» (1839—67), издатель «Литературных прибавлений» к «Русскому инвалиду», «Литературной газеты» и мн. др. К. — энергичный литератор-предприниматель капиталистического склада. Учитывая общественно-литературные настроения, Краевский задумал широкую программу «Отечественных записок», привлек к сотрудничеству в журнал лучшие литературные силы, в частности В. Белинского, к-рого жестоко эксплоатировал. С уходом Белинского и его группы из «Отечественных записок» журнал пришел в упадок. В 1865 К. приступил к изданию умеренно-либеральной газеты «Голое» (1865—83).
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. В математике называют краевыми задачи, в к-рых требуется так определить одну или несколько функций, удовлетворяющих внутри нек-рой области данному дифференциальному уравнению или системе уравнений, чтобы на границе (краю) этой области искомые функции удовлетворяли нек-рым заданным условиям. Такие задачи возникли из потребностей математической физики, и методы их решения в большинство случаев были также подсказаны физическими соображениями. Сюда относятся, например, задачи о распределении температуры в однородном изолированном стержне длиной I. Если с — теплоемкость стержня, к — коэффициент его внутренней теплопроводности, q — плотность его материала, U — температура любой точки стержня, являющаяся функцией абсциссы х и времени t, то U будет удовлетворять ур-ию ~ = а2 ~, где а = ]/ • Из бесчисленного множества решений этого уравнения требуется выбрать те решения, к-рые удовлетворяют: 1) начальным условиям, т. е. условиям, к-рые определяются распределением температуры в момент времени £=0; П(ж, 0) равна заданной функции /(ж); 2) краевым усло 530
виям, характеризующим температуру концов стержня, напр. что конец х = 0 имеет постоянную температуру U09 т. е. U(0, t)=U0, и что конец х = 1 изменяет свою температуру по заданному закону: /7(1, К К. з. относятся также задачи о поперечных колебаниях натянутой струны или мембраны, о распределении температуры в пластинках, об электрических колебаниях в проводах, о распространении звуковых волн, колебаниях газов и многие другие проблемы физики.
Есть два существенно различных направления в постановке и методах решения К. з. Первое, более старое направление характеризуется тем, что все рассматриваемые функции и дифференциальные уравнения предполагаются аналитическими. Наиболее разработанной в этом направлении К. з. является т. н. задача Коши, к-рая формулируется так: дана система дифференциальных уравнений = Ег- (г = 1, 2, ..., п), где аналитические функции Гг;зависят от независимых переменныххі,..., хп, искомыхфункций Ul...... 77пиих производныхпох2, ..., хп.
Требуется найти аналитические же функции 17/ так, чтобы они удовлетворяли данной системе уравнений и при хг = 0 обращались соответственно в данные аналитические функции /г — от х2, ...» хп. Классическим результатом является теорема С. Ковалевской о том, что так поставленная задача всегда имеет решение и притом только одно. — Для другого направления в К. з. характерно предположение только достаточной гладкости (т. е. существования достаточно большого, но конечного числа производных) рассматриваемых функций как искомых, так и задаваемых на краях. Так именно обычно ставятся К. з., к к-рым приводят физические проблемы. Эта теория К. з. в действительной области обладает болыпим своеобразием и совершенно отлична от теории К. з. в аналитической области. Так, например, для системы dVj = О77а> dU г dUi (1) Oxi = 0х2 ’ дхг ~ дх2 задача Коши всегда имеет решение, если только начальные значения функций иг и 17, имеют непрерывные про изводные второго порядка по х2.
С другой стороны, для системы 0І7і _ бІ7а. ди* dUi Oxi ~ 0х2 9 Охі 0х2 ’ которая отличается от предыдущей только знаком при, задача Коши, вообще говоря, уже не имеет решения, сколько бы раз начальные значения функций U j и U2 ни были дифференцируемы по х2.
Лучше всего разработана теория К. з. в действительной области для дифференциальных уравнений 2 — го порядка с одной неизвестной функцией. Типичными здеСь являются следующие задачи: 0W 0217 _ 1) Задача Коши для уравнения . Эта заох* дача состоит в том, чтобы найти функцию U (х, t) (отклоненію струны от положения равновесия) по задай — ным начальным значениям U и . Эта задача свооі дится к задаче Коши для системы (1).
2) Первая К. з. (задача Дирихле) для уравнения Лапd4J д277 ласа (2) г = 0. Эта задача состоит в том, чтобы 0Хл оу* найти функцию U, к-рая внутри нек-рой области g удовлетворяет уравнению (2), а на краю принимает значение нек-рой заданной непрерывной функции. Задача всегда имеет решение, если граница области g состоит только из кусков линий и не содержит отдельных точек.
3) Вторая К. з. (Неймана) для того же уравнения Лапласа состоит в отыскании функции U (х. у), удовлетворяющей внутри g уравнению (1), а на границе g имеющей заданную нормальную производную. Задача всегда имеет единственное с точностью до постоянного слагаемого решение, если только интеграл по контуру g от заданных значений нормальной производной от U равен 0 и граница области достаточно правильна.
Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей математики для техников и физиков, т. II, М. — Л., 1933; ГурсаЭ., Курс математического анализа, т. III, ч. 1, М. — Л., 1933; ГильбертД. и КурантР., Методы математической физики, М. — Л., 1933; Франк Ф. иМизесР., Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики, ч. 2, Л. — М., 1937; Крыло в А. Н., О некоторых дифференциальных уравнениях математической физики..., Л., 1932; Вебстер А. Г. иСегеГ., Дифференциальноеуравнение в частных производных математической физики, ч. 1—2, М., 1933—34; КошляковН. С., Основные дифференциальные уравнения математической физики, 3 издание, Л. — М., 1933.
