делить ее положение на поверхности или в пространстве. Таковы, например, астрономические или географические К.: широта и долгота, фиксирующие положение точки на небесной сфере или на поверхности земного шара. Уже в 14 в. франц. математик Орезм пользовался К. для построения графиков на плоскости, называя долготой и широтой то, что мы теперь разумеем под Декартовыми координатами (см.) — абсциссой и ординатой. Систематическое применение К. к вопросам геометрии на плоскости привело в 17 в. (Декарт и Ферма) к созданию аналитической геометрии (см.). Несколько позже Декартовы К., прямоугольные и косоугольные, были перенесены в геометрию пространства. Одновременно вошли в употребление полярные координаты (см.), особенно хорошо приспособленные к изучению нек-рых трансцендентных кривых, напр. спиралей.
Координаты точки на плоскости. В основе каждой системы К. лежит нек-рая фигура (бау зис системы), по отношению / к которой положение каждой точки может быть опре/ / делено посредством двух К.
/ /______ Так, в случае Декартовых К.
/ на плоскости (рис. 1) базис Рис і состоит из двух пёресекающихся прямых (осей) и не лежащей на этих прямых точки (единичной), к-рой приписывают координаты (1, 1). Базисом полярной системы служ’ат: точка (полюс), выходящий из нее луч (полярная ось, на рис. 2 — ON) и опять-таки единичная точка. Полярная система представляет собой один из простейших примеров т. н. криволинейных систем К.: на плоскости существует бесконечное множество кривых линий (в данном случае это — концентрические окружности с центром в полюсе, рис. 2), обладающих'тем свойством, что при движении точки по какой-нибудь из этих линий меняется только одна из рассматриваемых К. (здесь — полярный угол, на рис. ^zNOM), а другая (радиус-вектор, на рис. — ОМ) остается постоянной. Другим примером может служить биполярная система К.: положение точки определяется двумя числами, выражающими расстояния этой N точки от двух неподвижных полюсов. — Хотя положение точки на плоскости впол- \ ___ не определяется уже 4-. ___ двумя К., однако в р“с 2. некоторых исследованиях предпочитают вводить болыйее число К. (избыточные К.). При этом, конечно, нарушается взаимная однозначность соответствия между точкой и ее К.: одной и той же точке соответствуют в качестве К. различные группы чисел. Например, отправляясь от Декартовых К. (х, у), вводят так наз. однородные К.: каждой точке на плоскости приписывают в качестве однородных К. три числа X, У, Z, удовлетворяющих единственному условию: X -. Y : Z = х:у :1. Очевидно, любая тройка чисел, кроме (0, 0, 0), может рассматриваться как совокупность однородных К. нек-рой точки на плоскости; но при этом такие тройки, как (3, 4, 5), (6, 8, 10), — 2, -•|) ит. д., определяют одну й ту же точку, именно точкус Декартовыми К. (у, . Тройки чисел, из к-рых последнее равно нолю, соответствуют бесконечно-удаленным точкам: так, тройка (3, 4, 0) определяет бесконечно-удаленную точку, принадлежащую прямой у = ~х. Возможность задания бесконечно-удаленных точек при помощи конечных чисел делает однородные К. особенно ценными для проективной геометрии, где, как известно, не делается различия между конечными и бесконечно-удаленными элементами. Другое преимущество однородных координат заключается в том, что уравнения алгебраических лийий имеют в этой системе вид Р (X, У, Z)==0, где левая часть есть многочлен, однородный (отсюда — назвапие) относительно X, У, Z.
Более общую систему однородных К. получим, полагая X : У : Z=(a1x+b1y+c1) : (a2x+b2y+c2) : (а8х+Ь8у+с8), с8 — девять постоянных чисел, подчиненных где ао Ьд, только одному неравенству: последнее выражает требование, чтобы три прямые а1х+Ь1у+с1=0, а2х+Ь2у+с2=0, а8х+Ь»у+с,=0 не проходили через одну точку, т. е. составляли треугольник. Геометрическое истолкование этой системы обнаруживает, что упомянутый треугольнцк вместе с единичной точкой составляет базис системы; отсюда — название треугольные (или трилинейные) К. — Частным случаем треугольных К. являются барицентрические: в качестве, К. точки М берут три числа, пропорциональные массам (положительным или отрицательным), которые надо поместить в вершинах базисного треугольника для того, чтобы центр тяжести (барицентр) этой системы масс оказался в точке М. Единичной точкой служит центр тяжести базисного треугольника.
Криволинейные К. точки на произвольной поверхности. Идея К. мо жет быть перенесена с плоскости на любую (кривую) поверхность.
Рис. з.
Например, насфере координатами могут служить широта и долгота. Рассмотрим на поверхности (рис. 3) две функции точки (М), иначе — два семейства кривых и (М) и ѵ (М), подчиненных только тому условию, чтобы через каждую точку поверхности-(или, по крайней мере, изучаемого куска поверхности) проходили по двум разным направлениям одна линия первого семейства (и = Const) и одна линия второго семейства (ѵ = Const). Положение точки на поверхности определяется с помощью тех значений, к-рыѳ принимают переменные и и ѵ в этой точке. Эти значения и’рассматриваются как К. криволинейные, или Гауссовы точки на поверхности.
Криволинейными эти К. называются потому, что линии, вдоль к-рых меняется только координата и (а ѵ = Const) или же только ѵ (а и = Const), суть, вообще говоря, кривые, линии (в случае долготы и широты — меридианы и параллели). Гауссовы криволинейные К. являются основным орудием современной дифференциальной геометрии (см.).
Координаты точки в пространстве. Кроме Декартовых К. (х, у, z), изображенныя на рис. 4 (из к-рых могут быть получены четыре однородных координаты хг: х2: х3: аналогично тому, как это было сделано для точки на плоскости), здесь пользуются также криволинейными системами, общая схема к-рых такова.
