(напр., Мене. хму, 4 в. до хр. э.); с помощью этих кривых решались некоторые задачи на построение («удвоение куба» и др.), оказавшиеся недоступными при пользовании простейшими чертежными инструментами — циркулем и линейкой. В первых дошедших до нас исследованиях греч. геометры получали К. с., проводя
секущую плоскость перпендикулярно к одной из образующих; при этом, в зависимости от угла раствора при вершине & (т. е. наибольшего угла между образующими одной полости), линия пересечения оказывалась эллипсом, если угол острый, параболой, если угол прямой, или гиперболой, если угол тупой. Наиболее полным сочинением, посвященным этим кривым, были «Конические сечения» Аполлония (2 в. до хр. э.). Этот автор проводил секущие плоскости не обязательно под прямым углом к образующей и систематически пользовался двухполостным конусом, к-рый даже мог не быть конусом вращения (а, как бы мы теперь сказали, произвольным конусом 2 — го порядка).
Дальнейшие успехи теории К. с. связаны с созданием в 17 в. новых геометрия, методов: проективного (Дезарг, Паскаль) и, в особенности, координатного (Декарт, Ферма). С точки зрения аналитич. геометрии, К. с. суть «кривые 2 — го порядка», т. е. кривые, выражаемые в Декартовых координатах уравнением 2-й степени Ах2 -|- Вху + Су2 + + Еу + F = 0.
, При надлежащем выборе системы координат уравнение это, если оно действительно представляет кривую, а не пару прямых (строго говоря, фигура, состоящая из двух пересекающихся прямых, также должна быть причислена к К. с., так как она получается, если конус пересечь плоскостью, проходящей через его вершину; присоединяя к конусам цилиндры вращения — «конусы с бесконечно-удаленной вершиной», — мы можем получить в качестве К. с. и пару параллельных прямых), может быть приведено к виду у2 = 2 рх 4 — Хх2 (р и Л — постоянны).
Оно выражает эллипс при Л < 0, параболу при л = 0, гиперболу при Л > 0.
Геометрии, свойство К. с., содержащееся в последнем уравнении, было известно уже греч. геометрам и послужило для Аполлония поводом присвоить отдельным типам К. с. названия, сохранившиеся до сих пор: слово «эллипс» означает недостаток (Л < 0), «гипербола» — избыток (Л>0). С переходом к современным методам исследования стереометрическое определение К. с. отошло на задний план, уступив место планиметрическим определениям этих кривых как геометрических мест наплоскости. Так, напр., в основу изучения эллипса предпочитают теперь класть его определение как геометрии, места точек, для к-рых сумма расстояний от двух данных точек («фокусов») есть постоянная величина. Франц. геометр Данделен (19 век) предложил для перехода от стереометрических определений К. с. к планиметрическим удобный способ, к-рый мы поясним на примере эллипса. Пусть имеем (рис. 5) эллипс, полученный в результате пересечения одной полости конуса плоскостью.
Впишем в конус два шара, касающиеся как поверхности конуса (по окружностям с и с')» так и плоскости эллипса (в точках F и F').
Возьмем теперь на эллипсе произвольную точку М и проведем через нее образующую SM, к-рая пусть пересекается с окружностями с и с' соответственно в точках Т и Т". Так как MF и МТ суть касательные, проведенные к одному и тому же шару из общей точки М, то MF=MT.
W По такой же причине MF' = Ys = МТ', следовательно, MF+ А
+MF'=МТ+ МТ'=ТТ'. Ес/1 \ ли теперь точка М будет опи/ДД сывать эллипс, то точки Т и jCsOl Т' будут перемещаться по Л ; VA СВОИМ окружностям (с И с') с / сохранением расстояния ТТ' / ///м \ (отрезок ТТ" служит образую\ щей усеченного конуса). Итак, |\Д сумма расстояний точки М от Ц__ точек F и F' остается постоянi | ной, в этом и состоит плани- / pF к
метрический признак эллип — I ‘
/ са. Аналогичные построения \ / с помощью «шаров Данделе — X.
/ на» существуют для гипербо-----лы (шары в разных полостях) и параболы.
Рис* Интерес к К. с. всегда поддерживался тем, что с этими кривыми мы часто встречаемся в окружающих нас явлениях природы и человеческой деятельности. Круглый непрозрачный диск, освещаемый расходящимися или параллельными лучами, отбрасывает тень, всегда имеющую форму одного из К. с. Если висячая лампа под коническим абажуром освещает часть вертикальной стены, то границей между светом и тенью служит ветвь гиперболы. В науке К. с. приобрели особенное значение после того, как астроном Кеплер (16—17 вв.) открыл из наблюдений, а Ньютон (17—18 вв.) теоретически обосновал законы движения планет, один из которых гласит, что планеты и кометы солнечной системы движутся по К. с. Следующие примеры относятся к отдельным типам К. с. Параболу описывает камень или снаряд, брошенный наклонно к горизонту (правильная форма кривой несколько искажается сопротивлением воздуха). Цепь висячего моста под действием равномерной горизонтальной нагрузки провисает в виде параболы. Арке моста нередко придают форму параболы. Для устройства прожекторов (автомобильных, военных) пользуются параболическими зеркалами, к-рые лучше, чем сферические, концентрируют отраженные лучи. Если цилиндрич. сосуд с налитой в него жидкостью подвергнуть быстрому вращению вокруг его оси, то поверхность жидкости становится вогнутой с пароболич. профилем. То обстоятельство, что форма этого профиля зависит от угловой скорости, используется при устрой-
