КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ИСЧИСЛЕНИЕКаждый из столбцов разностей получен здесь путем последовательного вычитания чисел предшествующего столбца. Разности четвертого и более высоких порядков в этом примере равны нолю. Заметим, что каждое число нашей схемы (за исключением чисел первого столбца) равно сумме двух чисел предыдущей строки, взятых из того же и из последующего столбцов. Поэтому каждый начатый столбец можно неограниченно продолжить посредством одних лишь сложений, если только известны все числа следующего столбца. В нашем случае все числа последнего столбца [Д8/ (ж)] известны: они равны между собой. Таким образом, мы можем неограниченно продолжить таблицу значений нашей функции, заполняя сначала столбец А2/(я), затем (х) и, наконец, f(x). | !
/(X) — J
Xв пределе при h~+0. Если f(x) есть полином не выше n-й степени, то и в v формуле Ньютона при любом ж лишь первые п-|-1 членов отличны от ноля, и она изображает точно f(x). Если же функция f(x) не есть полином степени ^п, то эту формулу нужно толковать как приближенное представление функции /(ж); однако следует заметить, что сравнительно редко погрешность (остаточный член Rn) стремится к нолю при неограниченном возрастании числа членов в правой части этой формулы. Здесь мы соприкасаемся с проблемой интерполяции (см.).
Чтобы дать пример приложения этой формулы, оо
вычислим значение интеграла j* лиц находим:
e~t2dt
Д’Кх)
Л2/(Х)
Д/(х)
Изтаб — 0, 4769363
X 1
44385958433—10—11
0, 476
1—79687911—10—11
0, 4770, 478+75987—10—11
+84—10—11—79611924 +76071—79535853 44147122745
0, 479
Этот прием составления таблиц применим всякий раз, когда разности некоторого порядка или точно равны между собой или могут быть приближенно приняты равными.
Легко найти общие формулы для конечных разностей от элементарных функций. Так, полагая, что разность двух последовательных значений х равна 1, получаем: А”я(ж — 1)... [я — (& — 1)] = &(& — !)...
... (к — n+ 1) х(х — 1) . и. [ж — (А; — п — 1)]; Awaoc = (a-l) waa?;
Полагая в формуле Ньютона а = 0, 476, х = = 0, 4769363, h = 0, 001, п = 3 и отбрасывая остаточный член, получаем:
J е~12 dt = 44335958433 • 10"“ 0, 4769363 0, 9363 • 10—3 79687911 • 10 — И 1! *
10—3 + 0, 9363 • 10—3 (0, 9363 • 10—3 — 10—3) 2! • (10—3) 2
0, 9363 • 10—3(0, 9363 • 10—3-10—3) (0, 9363 • 10—3-2 • 10“3) 31
• sin [а: + п
Д» sin ах = (2 • sin
' 75937—10 — U
• тй^=0’44311344377 — Эти формулы аналогичны следующим формулам дифференциального исчисления (полагая dr = l): = к (к — 1)... (к — п 4—1) я/™; dnax = (\na) nax\
dn sin а х = ап sin ( ах + п
.
Ошибка найденного значения не более 10~п.
В К. р. и. важное значение имеет суммирование разностей. Если Ф(х) — функция, для к-рой <р(х) является разностью первого порядка, то <р (а) = Ф (а 4 — h) — Ф (а), (р(а+к)==Ф(а-\-21г) — Ф(а+к), ..., 1) й] = = Ф(а+к1г) — Ф [а«4-(& — 1) Л]. Складывая все эти равенства, получаем: fe-i
Вообще зависимость между конечными разностями и производными в дифференциальном исчислении устанавливается формулой Ит-^=Г»(а;).
Если известны значение функции и ее последовательные разности при некотором я=а, то значение функции при другом значении аргумента можно вычислить по формуле Ньютона: ГW,
х~а
ТW+ и •,
I
h +
(х-а)(х-а-Л)(х — а)(х — а — h) ... [х — а — (п — 1) Л]
•
Д2/(а),
/г2 +
Д»*/(а), о
' “Г П| • hn где h — разность двух соседних значений аргумента и Rn — остаточный член. Эта формула является полным аналогом формулы Тейлора <см. Ряд Тецлора) и переходит в последнюю(р(аmh) = Ф(а+кк) — Ф(а). т=0 Эта сумма в К. р. и. является аналогом основной формулы интегрального исчисления, выражающей определенный интеграл через первообразную функцию. Так, напр., замечая, что arctg X X — j- XA = arctg (® 4—1) “ arctg х = A arctg®, находим: fc-iarctgk — arctg0 = arctgA,
afctg
m=0
откуда, при k-+co, получаем формулу: оо
2 arctg= Здесь также можно указать формулу, устанавливающую зависимость между суммой конечных разностей и определенным интегралом:
