Страница:БСЭ-1 Том 33. Классы - Конкуренция (1938)-1.pdf/175

нормальных К. системы, а их частоты носят название нормальных частот.

В системе с двумя степенями свободы существуют, т. о., два нормальных К. Эти выводы легко распространить и на системы с числом степеней свободы больше двух. Число нормальных К. всякой системы равно числу степеней свободы этой системы. Если система имеет $n$ степеней свободы, то движение по каждой координате может быть представлено как сумма $n$ гармонич. К. с различными периодами, определяемыми параметрами системы, и амплитудами и фазами, определяемыми начальными условиями. Но если распределение амплитуд нормальных К. по одной из координат уже задано (начальными условиями), то распределение амплитуд этих же К. по остальным координатам задается свойствами самой системы. Если число степеней свободы системы очень велико, то этим можно воспользоваться для упрощения задачи. Так, например, в системе, состоящей из $N$ одинаковых шариков, соединенных пружинками (рис. 10), задача упрощается потому, что уравнение движения для всех шариков, кроме двух крайних, имеет совершенно одинаковый вид:

$m{\frac {d_{2}x_{i}}{dt^{2}}}=-kx_{i+1}+k(x_{i+1}-x_{i});i=1,2\dots N.$

(8)

Только для двух крайних шариков уравнения движения имеют иной вид, зависящий от тех условий, в к-рые поставлены крайние шарики. Из системы (8) для каждого $x$ получается решение в виде суммы $n$ гармонич. К. (нормальных К.), частоты к-рых определяются свойствами системы. Если число шариков велико и все шарики и пружинки одинаковы, то нормальные частоты приблизительно образуют ряд $\omega$, $2\omega$, $3\omega$ и т. д.

Величина амплитуды и фазы различных нормальных К. задаются попрежнему начальными условиями, а распределение амплитуд по различным шарикам — условиями, в к-рые поставлены крайние шарики^[1]. Если число шариков беспредельно возрастает, то как массы, так и упругость оказываются все более и более равномерно распределенными по системе, и система все большей больше приближается к сплошной системе или к системе с распределенными параметрами.Рис. 10 В пределе нашу систему из шариков и пружины мы можем рассматривать как — сплошной стержень, обладающий соответствующей массой и упругостью. Так, мы приходим к простейшей задаче о К. в сплошных системах. Вместо уравнения типа (8) для одного шарика мы получим в этом случае уравнение для бесконечно тонкого слоя, толщиной $dx$, вырезанного в перпендикулярном к оси стержня направлении. Но т. к. смещение слоев в этом случае непрерывно распределено по стержню, то его уже не следует относить к дискретным точкам, а можно рассматривать как непрерывную функцию координаты $x$. Упругие силы, зависящие от деформаций, определяются вторыми производными смещений по координатам, а так как смещения зависят также от времени (стержень колеблется), то для определения упругих сил в какой-либо момент нужно брать частные производные от смещений по координатам. С другой стороны, ускорение какой-либо точки выражается как вторая частная производная от смещения по времени. В конечном счете вместо $N$ уравнений (8) мы получим только одно уравнение, но в частных производных:

$\varrho {\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}=E{\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}},$

(9)

где $\varrho$ — плотность, а $E$ — упругость в системе.

Это уравнение само по себе не определяет никаких собственных частот, а лишь скорость распространения возмущения по стержню. Но в ограниченном стержне возмущение через некоторое время должно отразиться от конца и вернуться назад. Поэтому краевые условия определяют период К. стержня и вместе с тем все нормальные частоты, к-рые в рассматриваемом случае однородного стержня будут точно кратными основной частоте К. Это т. н. гармонические обертоны (если бы стержень был неоднородным, то обертоны не были бы кратными основному тону, т. е. не были бы гармоническими). Форма К. стержня, т. е. амплитуды и фазы всех нормальных К., определяется начальными условиями. Рассмотренный нами случай продольных К. в упругом стержне является простейшей задачей о К. в сплошной системе. Однако основные черты этих К., установленные нами для этого простейшего случая, остаются справедливыми и для более сложных сплошных систем. Наличие нескольких степеней свободы может также и в автоколебательной системе изменить характер создаваемых этой системой автоколебаний. В этом случае в системе могут существовать, напр., сразу два близких к синусоидальным автоколебания различных периодов или К. еще более сложного состава.

Рассмотренными выше двумя типами К. (свободные К. и автоколебания) исчерпываются все случаи возникновения К. в автономных системах. Перейдем теперь к краткому обзору различных случаев возникновения К. в системах, подвергающихся колебательному внешнему воздействию, т. е. в системах неавтономных, а вместе с тем к рассмотрению третьей группы вопросов — о воздействии К. на различные устройства. К., к-рые происходят в неавтономных системах, естественно разделить на две части — на К., к-рые происходят независимо от колебательного внешнего воздействия и, следовательно, принадлежат к одному из рассмотренных выше типов, и на К., навязанные внешним воздействием. Однако такое разделение возможно только в линейных системах, к которым применим принцип суперпозиции (см.). Поэтому мы будем говорить только о линейных системах, а в отношении нелинейных систем ограничимся только самыми краткими замечаниями.

В линейных системах независимо от внешнего воздействия могут возникать только К., к-рые мы назвали выше собственными или свободными. Мы знаем уже, чем определяется период, амплитуда и фаза этих К. Рассмотрим поэтому только вопрос о периоде, амплитуде и фазе навязанных извне К. Внешнее колебательное воздействие чаще всего заключается в том, что на систему действует колебательная внешняя сила или каким-либо точкам системы навязывается извне заданное колебательное движение. Навязанные таким образом К. принято называть вынужденными К. Но возможен и другой тип внешнего колебательного воздействия, приводящий к возникновению К. в системе. Именно, воздействие может быть таково, что оно изменяет какой-либо параметр системы. Примером такого воздействия может служить периодическое изменение натяжения струны, применяемое в опыте Мельде. В случае такого параметрического воздействия при известных соотношениях между частотами воздействия и собственными частотами системы возбуждаются колебания, по своему характеру существенно отличающиеся от вынужденных. Эти колебания носят название параметрически-возбужденных.

Период вынужденных К. целиком определяется периодом внешнего воздействия. Амплитуда же вынужденных К. зависит не только от амплитуды внешнего воздействия (в рассматриваемых нами линейных системах амплитуда вынужденных К. пропорциональна амплитуде внешнего воздействия), но и от других факторов — от соотношения между частотами внешнего воздействия и частотой собственных К., а также от величины затухания собственных К. системы. При данном соотношении между частотами амплитуда вынужденных К. тем больше, чем меньше сопротивление. Более сложной является зависимость амплитуды вынужденных К. от соотношения между частотами. Если затухание собственных К. в системе невелико, то вблизи нек-рых соотношений между частотами внешнего воздействия и частотами собственных К. в системе амплитуда вынужденных К. резко возрастает, — наступают явления резонанса.

1. Эти условия носят название граничных или краевых условий. Простейшие краевые условия могут состоять, напр., в том, что крайние шарики свободны или закреплены неподвижно.