КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАтривать задачу нерелятивистски, то предыдущая формула (называемая формулой Л. де Бройля) получит вид: Л=А mv
т. к. в этом случае p = mv.
Мы видим, что чем больше масса частицы т, тем меньше длина волны и тем труднее установить волновые свойства частиц, т. к. для очень малых длин волн волновые свойства переходят в соотношения, изучаемые геометрической оптикой (т; е. диффракционные и интерференционные явления становятся незаметными). Напротив, для частиц с массой порядка массы электрона, волновые эффекты должны быть явственно заметны.
Эта гипотеза Л* де Бройля о волновой структуре вещества подверглась экспериментальной проверке. В 1926 американские физики Девиссон и Джермер открыли интерференционные явления при отражении электронов от кристаллических веществ. Далее Демпстер открыл волновые свойства протонов. Отметим еще опыты Томсона и др. В результате этих опытов волновая природа микроскопических частиц стала экспериментальным фактом.
Несмотря на большие успехи, теория Л. де Бройля являлась скорее рядом замечаний о волновой природе частиц, не имеющих общей последовательной теоретической базы. Ее принципы были еще неясны. Необходимы были дальнейшие исследования в этом направлении.
Руководясь идеей Л. де Бройля, физик-теоретик Эрвин Шрёдингер рассмотрел проблему строения водородного атома, формулировав ее при этом в совершенно новом виде. Он обратил внимание на то, что проблема строения водородного атома требует, прежде всего, определения значений энергий стационарных состояний атома, как это показала теория, развитая Н. Бором. Атом может пребывать в одном из своих стационарных состояний. Каждое из стационарных состояний имеет определенный запас энергии; пусть Е2, . . ., Еп значения энергии стационарных состояний атома, причем Ев — запас энергии атома, находящегося в нормальном, наиболее устойчивом состоянии.
Идея Шрёдингера заключалась в том, что «квантование», т. е. выделение устойчивых движений, есть задача такого же типа, как и задача нахождения стоячих волн в акустике: стационарное состояние атома соответствует волновому процессу, образующему стоячие волны.
Для примера рассмотрим задачу о колебаниях мембраны. Эта задача описывается линейным дифференциальным уравнением в частных производных, содержащим постоянный параметр: 0 2Ф
дх*
. д2<р о А + “у — О) 209=0.
ду*
Решив это дифференциальное уравнение, мы найдем функцию, ему удовлетворяющую, к-рая будет описывать максимальные отклонения точек мембраны от положения равновесия. Параметр со, входящий в уравнение, есть частота вибрирующей мембраны. Исследование показывает, что он остается произвольным.
Это означает, что точки мембраны могут колебаться с любой частотой. Но если мембрану закрепить на краях, то решение изменится.В этом случае необходимо учесть, что отклонения ее крайних точек всегда должны равняться нолю. Это будет дополнительным условием, добавляемым к дифференциальному уравнению.
Это условие называется краевым или предельным. Введение краевого условия приводит к отбору определенных решений уравнения, а так как решение зависит от произвольного параметра со, входящего в уравнение, то отбор решений, совместных с краевыми условиями, означает вместе с тем и отбор определенных численных значений этого параметра. Иначе говоря, закрепленная на краях мембрана может колебаться только с определенными частотами. Обозначим их через a>i, со2, со3, ..., соА, ...,
а соответствующие им решения уравнения через •
^2» <Рз> • • •,
Значения параметра сой называют характеристическими числами уравнения, а соответствующие им решения <рк, удовлетворяющие предельным условиям (представляющие амплитуды стоячих волн), называют фундаментальными функциями.
Э. Шрёдингер по аналогии представил себе водородный атом как систему, в к-рой происходит колебательный процесс (стоячие волны), и вывел уравнение, к-рому подчиняется этот волновой процесс (волновое уравнение, или уравнение Шрёдингера).
Для простейшей задачи: частица, имеющая массу т, энергию Е и движущаяся в силовом поле с потенциалом U (х, у, в), уравнение Шрёдингера имеет такой вид: Д¥>+^-(Е-и)¥- = 0,
где Т
\дх*
дуй
д? й)
и ж, у, # — прямоугольные координаты, определяющие положение частицы.
Выясним связь этого уравнения с задачей на определение характеристических чисел.
Для решения задачи мы должны задать тип потенциала 17 (ж, у, я); так напр., если электрон движется в поле ядра атома, то U =, где Ze — заряд ядра, е — заряд электрона и г — расстояние между ними.
Число Е (имеющее смысл энергии частицы) является параметром, входящим в уравнение.
Это уравнение мы можем проинтегрировать и в результате найдем его решение: у) = у> (х, у, z, Е), зависящее от координат и параметра Е.
Однако нас интересуют только конечные, непрерывные и однозначные решения уравнения, т. е. решения, для к-рых Л
. йт = 1
при интеграции по всей области изменения координат. Это условие и есть пограничное условие, аналогичное условию закрепления мембраны в вышеприведенном механическом примере. Это условие отбирает определенный класс решений, ему удовлетворяющих, а именно нек-рые функции: Vl, Vi, , Vn = Vn(X, у, Z, Е„), .
, отбирая вместе с тем и значения параметра Е Elt Е2.......... Еп, для которых получаются решения уравнения.
