КВАДРАТИЧНОЕ УКЛОНЕНИЕ — КВАДРАТУРА КРУГАКВАДРАТИЧНОЕ УКЛОНЕНИЕ. К. у. величин жх, ж2,, хп от величины а называется квадратный корень а из выражения а2 _ (^1 — «) 2 + (х2 — д) 2 + ... + (хп-а) 2
(1)
Употребляют также более общее понятие взвешенного К. у., определяющегося по формуле: а2 _ Р1(Х1 — а) 2 + Р2(х2 — а) 2 + ... + Pi 4“ Ра + ... + Рп
Рп(хп-а) 2 • \ )
В этом случае величины р19 р2) ..., рп называются весами, соответствующими величинам х19 х29... 9хп. Если все веса равны между собой, то формула (lz) переходит в формулу (1).
Обозначим через х0 среднее арифметическое величин х19 х2, ..., хп: Х1 + Х2 + ... + Жо --- ------------------
(су,
Хп
W а в случае неравных весов взвешенное среднее „ _ Р1Хг + Р2Х2 + ... + РпХп /О,\ Р1 + Р2 + ... + Рп
В случае формул (1) и (2) _ (Xj — Хр) 2 + (Х2 — ’Хр) 2 + ... + (Хп~~Хр) 2
__Д,) 2
j
(3)
в случае же формул (1') и (2') 2_Pi(xi-x0) 2+p2(x2 — x0) a+...+(xn-x0) a а “ Р1 + Р2 + ... +Рп
,
Ч2
+Ф„-а) .(о ) Из формул (3) и (3') видно, что при изменяющемся а К. у. а достигает минимума при а=ж0.
Пусть теперь я?!, ж2, ... 9хп являются результатами наблюдения одной и той же величины Ъ.
Величины Xi — Ъ являются ошибками соответствующих наблюдений. Если условия наблюдений постоянны и наблюдения независимы (результат одного наблюдения не влияет на результат следующих наблюдений), то существует определенное математическое ожидание (см.) а величин х^. С вероятностью, сколь угодно близкой к единице, при достаточно большом числе наблюдений п среднее арифметическое х° (формула 2) будет сколь угодно мало отличаться от а. Разность а — Ъ называют математической ошибкой наблюдений, а разность Xi-а случайной ошибкой каждого наблюдения. К. у. (формула 1) результатов наблюдений х19 ж2,..., жиот математического ожидания а называется средней квадратичной ошибкой данного ряда наблюдений. Чем квадратичная ошибка меньше, тем меньше отдельные наблюдения уклоняются от а, т. е. тем более точным (отвлекаясь от систематической ошибки а — Ь) является ряд наблюдений. По Гауссу, мера точности к ряда наблюдений определяется формулой: СГ1< 2
Если величина а заранее неизвестна, то средняя квадратичная ошибка определяется приближенно по формуле Бесселя: а2
(Х1 — ЭС0) 2 + (Х2 — Х0) 2 + ... + (Хп-Хо) 2 .
П — 1
Формула эта дает хорошие результаты при п>20.
При п < 20 ею часто пользуются, но результаты уже становятся ненадежными. О других вопросах, связанных с понятием квадратичной ошибки, см. Ошибок теория.
Лит.: Бернштейн С. Н., Теория вероятностей,
2 изд., М. — Л., 1934; ЧеботаревА. С., Способ наименьших квадратов, 1928; Идельсон Н. И., Способ наименьших квадратов, 2 изд., Л., 1932; Уиттекер Э. и Робинсон Г., Математическая обработка результатов наблюдений, 2 издание, Ленинград — Москва, 1935. н. Иделъсон.КВАДРАТИЧНЫЙ ВЫЧЕТ. Целое число п называется К. в. по модулю целого числа т, если существует такое целое число х, что ж2 — п делится без остатка на т, т. е. если можно решить сравнение (см.) х2~п (mod-m). Если это сравнение не имеет решений, то п наз. квадратичным невычетом по модулю т. Так, число 3 будет К. в. по модулю 11, ибо сравнение ж2 = 3 (mod — 11) имеет решение ж = 5, но по модулю 7 число 3 будет квадратичным невычетом. Понятие К. в. и связанные с ним символы Лежандра и Якоби играют в теории чисел исключительно важную роль.
КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ, частный тип алгебраического уравнения (см.). К. у. имеет вид: aGx2 + агх + а2—0, где а0, а19 а2 — нек-рые числовые коэффициенты, могущие быть и комплексными. Это уравнение имеет два корня (корнем называется число, превращающее левую часть уравнения в ноль), к-рые определяются по формуле: -ai ± У а2—4аоа2 х — ы.
Если коэффициенты уравнения действительные, то корни будут действительными при а1 — ^аоа2 > 0 и комплексными — при а? — 4а0а2 < 0.
Если хг и ж2 — корни уравнения, то его левую часть можно представить в виде а0(х — жх) (ж — ж2), что является впрочем частным проявлением общего закона, справедливого для всех алгебраических уравнений. Решение квадратных уравнений было известно в геометрической форме еще др. — греч. математикам.
КВАДРАТУРА, см. Интеграл.
КВАДРАТУРА КРУГА. Под квадратурой плоской фигуры разумеют нахождение площади этой фигуры. В более узком смысле К. к. называют задачу на построение, состоящую в том, чтобы по данному кругу построить при помощи циркуля и линейки равновеликий ему квадрат. Широкая известность, какой пользуется эта задача на протяжении тысячелетий, обусловлена контрастом между общепонятностью ее формулировки и неудачей всех попыток ее решения. Даже в житейский обиход выражение «квадратура круга» вошло как синоним безнадежного предприятия. Первоначально это представление базировалось на факте неудачи многовековых и — разнообразных попыток. Начиная с 1775 Парижская академия наук, а за нею и ряд других стали отказываться от рассмотрения работ, посвященных К. к. Однако лишь 19 в. принес научное обоснование этого отказа: была строго установлена неразрешимость К. к. как задачи на построение циркулем и линейкой. С этого момента заниматься К. к. можно, только оспаривая многократнопроверенные результаты соврем, математики.
Если принять во внимание, что площадь круга с радиусом R есть nR2 (л — отношение длины окружности к диаметру), а площадь квадрата со стороной ж есть ж2, то задача сводится к следующей: по данному отрезку R построить другой отрезок ж, определяемый формулой x — Ry^i. Иными словами, требуется осуществить построение, в результате к-рого данный отрезок был бы умножен на данное число (здесь Ул). Из элементарной геометрии известно, что такая задача в ряде случаев разрешима, напр. если множитель есть число рациональное (целое или дробное). Но и для нек-рых