Страница:БСЭ-1 Том 32. Каучук - Классон (1936)-1.pdf/34

Эта страница не была вычитана


КВАДРАТИЧНОЕ УКЛОНЕНИЕ — КВАДРАТУРА КРУГАКВАДРАТИЧНОЕ УКЛОНЕНИЕ. К. у. величин жх, ж2,, хп от величины а называется квадратный корень а из выражения а2 _ (^1  — «) 2 + (х2  — д) 2 + ... + (хп-а) 2

(1)

Употребляют также более общее понятие взвешенного К. у., определяющегося по формуле: а2 _ Р1(Х1  — а) 2 + Р2(х2  — а) 2 + ... + Pi 4“ Ра + ... + Рп

Рп(хп-а) 2 • \ )

В этом случае величины р19 р2) ..., рп называются весами, соответствующими величинам х19 х29... 9хп. Если все веса равны между собой, то формула (lz) переходит в формулу (1).

Обозначим через х0 среднее арифметическое величин х19 х2, ..., хп: Х1 + Х2 + ... + Жо --- ------------------

(су,

Хп

W а в случае неравных весов взвешенное среднее „ _ Р1Хг + Р2Х2 + ... + РпХп /О,\ Р1 + Р2 + ... + Рп

В случае формул (1) и (2) _ (Xj  — Хр) 2 + (Х2 — ’Хр) 2 + ... + (Хп~~Хр) 2

__Д,) 2

j

(3)

в случае же формул (1') и (2') 2_Pi(xi-x0) 2+p2(x2  — x0) a+...+(xn-x0) a а “ Р1 + Р2 + ... +Рп

,

Ч2

+Ф„-а) .(о ) Из формул (3) и (3') видно, что при изменяющемся а К. у. а достигает минимума при а=ж0.

Пусть теперь я?!, ж2, ... 9хп являются результатами наблюдения одной и той же величины Ъ.

Величины Xi  — Ъ являются ошибками соответствующих наблюдений. Если условия наблюдений постоянны и наблюдения независимы (результат одного наблюдения не влияет на результат следующих наблюдений), то существует определенное математическое ожидание (см.) а величин х^. С вероятностью, сколь угодно близкой к единице, при достаточно большом числе наблюдений п среднее арифметическое х° (формула 2) будет сколь угодно мало отличаться от а. Разность а  — Ъ называют математической ошибкой наблюдений, а разность Xi-а случайной ошибкой каждого наблюдения. К. у. (формула 1) результатов наблюдений х19 ж2,..., жиот математического ожидания а называется средней квадратичной ошибкой данного ряда наблюдений. Чем квадратичная ошибка меньше, тем меньше отдельные наблюдения уклоняются от а, т. е. тем более точным (отвлекаясь от систематической ошибки а  — Ь) является ряд наблюдений. По Гауссу, мера точности к ряда наблюдений определяется формулой: СГ1< 2

Если величина а заранее неизвестна, то средняя квадратичная ошибка определяется приближенно по формуле Бесселя: а2

(Х1  — ЭС0) 2 + (Х2  — Х0) 2 + ... + (Хп-Хо) 2 .

П  — 1

Формула эта дает хорошие результаты при п>20.

При п < 20 ею часто пользуются, но результаты уже становятся ненадежными. О других вопросах, связанных с понятием квадратичной ошибки, см. Ошибок теория.

Лит.: Бернштейн С. Н., Теория вероятностей,

2 изд., М. — Л., 1934; ЧеботаревА. С., Способ наименьших квадратов, 1928; Идельсон Н. И., Способ наименьших квадратов, 2 изд., Л., 1932; Уиттекер Э. и Робинсон Г., Математическая обработка результатов наблюдений, 2 издание, Ленинград  — Москва, 1935. н. Иделъсон.КВАДРАТИЧНЫЙ ВЫЧЕТ. Целое число п называется К. в. по модулю целого числа т, если существует такое целое число х, что ж2  — п делится без остатка на т, т. е. если можно решить сравнение (см.) х2~п (mod-m). Если это сравнение не имеет решений, то п наз. квадратичным невычетом по модулю т. Так, число 3 будет К. в. по модулю 11, ибо сравнение ж2 = 3 (mod  — 11) имеет решение ж = 5, но по модулю 7 число 3 будет квадратичным невычетом. Понятие К. в. и связанные с ним символы Лежандра и Якоби играют в теории чисел исключительно важную роль.

КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ, частный тип алгебраического уравнения (см.). К. у. имеет вид: aGx2 + агх + а2—0, где а0, а19 а2  — нек-рые числовые коэффициенты, могущие быть и комплексными. Это уравнение имеет два корня (корнем называется число, превращающее левую часть уравнения в ноль), к-рые определяются по формуле: -ai ± У а2—4аоа2 х  — ы.

Если коэффициенты уравнения действительные, то корни будут действительными при а1 — ^аоа2 > 0 и комплексными — при а? — 4а0а2 < 0.

Если хг и ж2  — корни уравнения, то его левую часть можно представить в виде а0(х — жх) (ж  — ж2), что является впрочем частным проявлением общего закона, справедливого для всех алгебраических уравнений. Решение квадратных уравнений было известно в геометрической форме еще др. — греч. математикам.

КВАДРАТУРА, см. Интеграл.

КВАДРАТУРА КРУГА. Под квадратурой плоской фигуры разумеют нахождение площади этой фигуры. В более узком смысле К. к. называют задачу на построение, состоящую в том, чтобы по данному кругу построить при помощи циркуля и линейки равновеликий ему квадрат. Широкая известность, какой пользуется эта задача на протяжении тысячелетий, обусловлена контрастом между общепонятностью ее формулировки и неудачей всех попыток ее решения. Даже в житейский обиход выражение «квадратура круга» вошло как синоним безнадежного предприятия. Первоначально это представление базировалось на факте неудачи многовековых и  — разнообразных попыток. Начиная с 1775 Парижская академия наук, а за нею и ряд других стали отказываться от рассмотрения работ, посвященных К. к. Однако лишь 19 в. принес научное обоснование этого отказа: была строго установлена неразрешимость К. к. как задачи на построение циркулем и линейкой. С этого момента заниматься К. к. можно, только оспаривая многократнопроверенные результаты соврем, математики.

Если принять во внимание, что площадь круга с радиусом R есть nR2 (л — отношение длины окружности к диаметру), а площадь квадрата со стороной ж есть ж2, то задача сводится к следующей: по данному отрезку R построить другой отрезок ж, определяемый формулой x — Ry^i. Иными словами, требуется осуществить построение, в результате к-рого данный отрезок был бы умножен на данное число (здесь Ул). Из элементарной геометрии известно, что такая задача в ряде случаев разрешима, напр. если множитель есть число рациональное (целое или дробное). Но и для нек-рых