ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯчение при переходе к Ct только в случае замкнутых кривых Со (и С/), то он называется относительным И. и.
Лит.: ГурсаЭ., Курс математического анализа, т. I — III, под ред. Б. К. М л од эеевского, М. — Л., 1933; Ро1псагё Н., Les methodes nouvelles de la m£canique celeste, v. Ill, Invariants int^graux, P., 1897; Whittaker E. T., Analytische Dynamik der Punkte und starren Кбгрег, B., 1924 (Die Grundlehren d. mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellung, hrsg. von R. Courant, Bd XVII); Cart an E., Lemons sur les invariants int^graux, P., 1922.
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, уравнения, в которых неизвестная функция входит под знаком интеграла. К интегральным уравнениям приводят многие задачи механики и физики. Одним из типичных примеров является задача о колебаниях струны. Пусть упругая однородная струна длины I, линейной плотности 1, закрепленная на концах и натянутая силой совершает малые колебания под действием периодической силы f (ж) cos vt (вели* чина силы рассчитана на единицу длины струны; Рис. 1. v — частота колебания) . Задача заключается в отыскании формы струны для каждого момента времени t. Предполагая движение периодическим, положим у = и (х) cos vt; по принципу Даламбера, можно рассматривать струну как находящуюся в равновесии в каждый момент времени t под действием сил, д*у инерции — dx = = v2 и (х) cos vt dx и внешних сил f (х) cos vi, приложенных к каждому элементу струны dx, а также сил натяжения у. (рисунок 1). В частном случае, когда на струну действует одна лишь сила, равная 1, приложенная в точке £, форму струны легко определить (рис. 2): 1 — ё „ (0<. ж<£) — Т~ X, у = К(х, £) = t (1 — х) (5<®<1).
- Но тогда под действием силы f (£) cos vtkg 4+ v2 и (£) cos vt А£, приложенной в той же точке к элементу Д$, струна должна принять форму у = и (х) cos W = К (х, f (£) cos vt + 4 — v2K(x, £) u(f) cos vtM, а под действием нескольких таких сил, приложенных в точках Si, ...» £п, — форму:
п
У = и(х) COS vt = 2 % (&,
f (£|) cos
+
2=1
+ V2
2 % (X> Si) U (f<) cos vtM,
i =1 ИЛИ
u (®) — v2
2 К (x, Si) U (Si) &S =
г=1
= %K(x, ЫНЫМ. г=1
(1)Переходя здесь к пределу в предположении, что п — > со и Д£ = — > 0, получаем И. у. для определения и(х): и (x) — v*fК (х, S) и (S) dS = f К (X, S) f (S) dS. (2) о
о И. у. вида ь <p(x) — AfK(x, S) v(S) dS=f(x), (3) а
где <р(х) — неизвестная функция, К(х, и f (х) — известные и Л — произвольный параметр, называются И. у. Фредгольма второго рода.
И. у. Фредгольма первого рода называется уравнение вида: ъ f К (х, £)<?(£) dl = f(x).
(4) а Функция К (х, £) называется в обоих случаях ядром уравнения. Эта терминология введена Д. Гильбертом и является общепринятой.
Уравнения вида (3) и (4), в к-рых верхний предел интегрирования переменный (х вместо Ъ), называются уравнениями Вольтерра второго и первого рода. Их можно рассматривать как частные случаи уравнений (3) и (4), предполагая, что ядра К (ж, £) обращаются в ноль при £>ж.
Исторически первый пример решения И. у. (первого рода) можно связать с именем Фурье, который показал (1811), что если ОО
СО
J* 2 cos 2nst« ?>(t) dt = / (s), то ф (s)= J* 2 cos 2ast • /(t) dt 0
0 (частный случай интегральной теоремы Фурье). Абель (1823, 1826) пришел к И. у. первого рода, решая следующую задачу: определить форму кривой, по к-рой без трения скатывается тяжелый шарик, если время, в течение к-рого он достигает наинизшей точки, есть заданная функция высоты падения х.
Далее история И. у. связана с именами Луивилля (1832, 1837), Беера (1855) и Неймана (1877), развивших, исходя из задач механики и физики (гл. обр. электростатики), метод последовательных приближений для решения уравнений второго рода. Беря в (3) /(х) в качестве первого приближения для ф(х), мы получаем следующие приближения в виде: Ь 9>1 (х) = / (х) + Я J К (x, f) / (f) df, а
b 9>2(х) =7(х) + А f К(х, ... а
Эти приближения будут сходиться к <р х при достаточно малых Я. Вольтерра (1896) (и независимо от него Леру) показал, что для уравнений, названных впоследствии его именем, последовательные приближения сходятся к решению ф х при любом Я.
Общую теорию интегральных уравнений построил Фредгольм (1900—03), исходя из весьма замечательной связи интегральных уравнений с системами линейных алгебраических уравнений. Поясним эту связь на примере задачи о колебаниях струны.
Возвращаясь от уравнения (2) к приближенному уравнению (1), дадим в последнем переменному х, последовательно, значения |х, £а, ...» Тогда мы получим систему п линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных и (|х), и ($,), ...,*u($w) Как известно из теории определителей, решения системы получатся в виде частного определителей. Переходя в полученных формулах к пределу, при п-> оо, мы получим решение И. у. (2) в виде частного двух известных функций. Фредгольм, проведя выкладки в общем виде, получил каждую из этих функций в виде ряда расположенного по степеням параметра Я, сходящегося при любом значении Я. Далее он показал, что, вообще, имеет место та же альтернатива, что и для систем линейных алгебраических уравнений: при заданном значении я
()
()
