меры — мера и интеграл — являются как-раз аддитивными функциями множества. Класс множеств, для к-рых они определены, в обоих случаях является классом измеримых множеств. — Пусть теперь заданы: 1) неотрицательная аддитивная функция <р(е) множества в, определенная для множества нек-рого класса F, 2) ограниченная функция /(е) от элементов е тех множеств е, к-рые входят в класс F. Тогда, пользуясь в точности тем же процессом определения, к-рый мы применили выше при определении интеграла Лебега, можно определить И. функции /(е) относительно аддитивной функции множества <р(е): § е
здесь только вместо меры ju(e) берется данная аддитивная функция множества <р(е).
В частности, если /(х, у) есть функция двух переменных, или, что то же самое, функция 1(Р) точки на плоскости, <р(е) есть площадь в элементарном смысле этого слова множества точек е на плоскости, то J7(P)?(dfi) является £ обычными.
y) dxdy функции /(х, у) по области е е, к-рый был определен другим способом еще Коши.
Однако, в определении интеграла Радона — Фреше замечательно то, что элементы е множества е здесь отнюдь не обязаны быть точками на прямой, на плоскости или в пространстве или вообще точками: они могут быть чем угодно. Например, элементы е могут быть событиями; известно, что вероятность наступления какого-нибудь из событий, принадлежащих данному множеству в событий е, есть аддитивная функция множества ^(е), отсюда возможность применения интеграла Радона — Фреше к общему определению и изучению средних значений в теории вероятностей.
Обширные приложения интеграл Радона — Фреше нашел также в функциональном анализе и в математической физике, например, в теории потенциала.
Другая линия обобщений. Данжуа. Другая линия обобщений первоначального понятия И. ограничивается функциями одного переменного, но зато дает много больше в направлении интегрирования неограниченных функций. Еще Коши в случае функции /(х), неограниченной Ъ в точке х=с, определил H. J7(x) dx, когда а<с<Ъ как а предел выражения с — £i b
J* /(х) dx + J /(x) dx, а
с при ег->0, Аналогично, И. с бесконечными пре* -}-оо Ъ делами J* ^(x) dx определяется как предел J7(x) dx при — оо а а->-ооиЬ->+оо. Дальнейшее развитие этих идей в соединении с идеями Лебега и всем аппаратом современной теории множеств привело Данжуа (Denjoy, 1912) к созданию такого понятия И., к-рое применимо ко всякой функции Дх), являющейся при каждом х производной от нек-рой функции F(x), и, т. о., позволило привести конструктивное определение определенного И. к той степени общности, при к-рой оно целиком отвечает задаче разыскания неопределенного И., понимаемого в смысле примитивной функции.
Лит.: Гурса Э., Курс математического анализа, т. I, 3 изд., М. — Л., 1936; Ла-Валле-ПуссенШ., д е, Курс анализа бесконечно-малых, т. I — II, Л. — М., 1933; Лебег А., Интегрирование и отыскание примитивных функций, М. — Л., 1934; ГливенкоВ. И., Интеграл Стильтьеса, М. — Л., 1936.
В. ГливвНКО.
ИНТЕГРАЛ ВЕРОЯТНОСТИ, в статистике — мера возможности того, что непрерывно изменяющаяся случайная переменная не выйдет из границ данного интервала возможных ее значений. Например, при определении степени точности результата выборочного измерения урожайности помощью так называемых метровок оценивается возможное расхождение между выборочной средней урожайностью (я) и средней урожайностью на всем исследуемом поле (я), т. е. уценивается возможная величина разности Ъ — х. Разность эта, представляющая собой случайную переменную, имеет свою меру колеблемости /л (см. Выборочный метод), прямо пропорциональную общей колеблемости урожая на данном поле (v) и обратно пропорцио 582
нальную квадратному корню из числа отобранных метровок (з): v V= Vs •
С помощью И. в. выясняется, как велика вероятность того, что разность х — х не выйдет из границ интервала от — 2^ до + 2/z. Искомая, вероятность оказывается равной интегралу +2 f — =. е
2 dx,
численно равному 0, 954. Это и есть величина искомой вероятности.
ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ(механ.).
И. у. д. обычно называют такие соотношения между мгновенными значениями величин, определяющих состояние движения, к-рые остаются неизменными во время движения (для механических систем величинами, определяющими состояние движения, являются координаты положения и составляющие скорости). В аналитической механике различают первые И. у. д., дающие соотношение между скоростями, координатами и временем, от вторых И. у. д., выражающих связь координат системы со временем. И. у. д. получаются в результате интегрирования системы дифференциальных уравнений движения.
Например, для изучения движения одной материальной точки (центра масс) при задании действующих сил и массы необходимо решать следующую систему ур-ий:
"»=-ЯГб (i-l, 2. 3),
(1)
где Xi — составляющие равнодействующей сил по осям координат — могут зависеть от времени t, координат х/ и составляющих скорости . Если удастся систему (1) представить в виде 0,(1, Л = 1, 2, 3),
(2)
то выражения содержащие время, координаты, составляющие скорости и три произвольных постоянных интеграции .
dXi dx2 dx3\ _
t, *1, x3> d? > ’df > df) = С/, (3)
(
называются первыми И. у. д. В свою очередь, если система ур-ий (3) может быть заменена ей эквивалентной системой d W ЗС/г» 0/£) = 0, (fe = 1, 2, 3; i = 4, 5, 6), (4)
то тогда выражения, содержащие время, координаты и шесть произвольных постоянных w (t, х/t, Clt) = Ci, (5> называются вторыми И. у. д. Разрешая соотношения (5> относительно х/г, получим самые общие выражения для искомых функций, содержащие шесть произвольных, постоянных Xi = Fi(t, Ci, С2, С3, С4, С5, С6), (г — 1, 2, 3).
Для системы, обладающей N степенями свободы cm число произвольных постоянных в первых И. у. д. равно N, а во вторых И. у. д. — 2N. Произвольные постоянные интеграции, обыкновенно, определяются из начальных условий, т. е. для какого-либо момента времени t=t0 должны быть заданы координаты и составляющие скорости. К важнейшим первым И. у. д. относятся интегралы количества движения, интегралы момента количества движения или интегралы площадей и интеграл живых сил или — более обще — интеграл энергии.
( .) V
Одним из наиболее важных И. у. д. классической механики является интеграл энергии, гласящий, что механическая энергия изолированной системы, равная сумме кинетической и потенциальной энергии, есть величина постоянная. В зависимости от того, допускает или не допускает система интеграл энергии, 19*
