го материализма. Как мы видим, идеалистические учения не остаются неизменными; они развиваются вместе с развитием классовой борьбы, принимая различную форму в зависимости от исторических условий. В области идеологии И. представляет собою известную общественную силу, преодоление к-рой возможно только в непримиримой классовой борьбе.
Лит.: Маркс К. иЭнгельс Ф., Сочинения, т. IV — Немецкая идеология, M., 1933, т. V, М. — Л., 1929 (см.
Маркс К., Нищёта философии, т. XIV, М. — Л., 1931 (см. Энгельс Ф., «Анти-Дюринг» и «Людвиг’ Фейербах»); Маркс К., Капитал, 8 изд., т. I, М. — Л., 1931 (см. «Товарный фетишизм и его тайна»); Ленин В. И., Сочинения, 3 изд., т. VIII, М. — Л., 1929 (см. «Социализм и религия»), т. XIII, М. — Л., 1928 (см. «Материализм и эмпириокритицизм»), т. XIV, М. — Л., 1931 (см. «Об отношении рабочей партии к религии»); Ленинский сборник, IX, М. — Л., 1931, и XII, М. — Л., 1931; Плеханов, Соч., тт. vii, Xi, xVii. в. ’ Шевнин.
ИДЕАЛ-РЕАЛИЗМ, направление в буржуазной философии второй половины 19 и начала 20 вв., пытающееся совместить видимое признание реального, т. е. в действительности существующего мира с традиционным идеализмом. Достигается это тем путем, что, во-первых, реальное истолковывается не как материальное и объективное, т. е. существующее независимо от человеческого познания, а как простое существование, как факт. Во-вторых, реальное и идеальное отождествляются, поскольку не проводится никакого различия между реальностью мыслимого и реальностью материального, а, наоборот, утверждается, что мыслимое в такой же мере реально, как и реальное — мыслимо, или идеально. Для И. — р. характерна тенденция отойти от обычного идеалистического отрицания объективной реальности мира и стать в какой-то форме на почву признания этой реальности. К этому обязывают мощные успехи науки, в частности естествознания, экспериментально подтверждающие реальность объективного мира. Однако это признание реального совершается И. — р. в такой форме, что традиционный идеализм остается сохраненным в полной мере, а реальность объективного по отношению к мысли мира все-таки отрицается. И. — р. по существу есть обычный идеализм, а все признание реального практически сводится к призыву строить идеализм не только на логических доводах, но и на основе научных данных. Вундт, являющийся одним из обоснователей И. — р., утверждающий, что «И. — р. принадлежит будущее философии», подтверждает, что «И. — р. есть в действительности не что иное, как реализм в идеалистической форме» и что суть этого реализма современной идеалистической философии заключается в том; что она «не должна строить независимо от положительного знания с виду логичную, на деле же фантастическую систему понятий: она, для того чтобы удовлетворить требованиям истинно научной философии, должна взять в качестве основы для себя реальные науки и надежные или испытанные методы». К числу теоретиков И. — р. помимо Вундта можно отнести Гербарта, Гартмана и других. Следует отметить, что И. — р. не дал какой-либо особой школы в буржуазной философии, но скорее лишь выразил тенденции отдельных ее представителей в указанную эпоху. Следует также отметить, что водственные щеал-реализму тенденции более широко выразило неокантианство. В Советском Союзе философию идеал-реализма пытался в 1927—28 развивать профессор М. Рубинштейн (см.).Лит.: Вундт В., Введение в философию, СПБ, 1903; его же, Система философии, СПБ, 1902; Рубинштейн М., О смысле жизни, т. I — II, М., 1927.
ИДЕАЛЫ, математическое понятие, явля ющееся основным для изучения алгебраических иррациональностей. Оно было введено Куммером (1850) при попытках доказать т. н. великую теорему Ферма: «ур-ие xn+yn=zn не имеет решения ни при каких целых рациональных х, у, я, п, (п>2)». При проведении доказательства Куммер пришел к необходимости опереться на теорему, что всякое целое число разлагается на простые множители одним единственным способом. Эта теорема справедлива для рациональных чисел; но Куммер при доказательстве применил кроме рациональных чисел еще числа вида: aQ + + а2со2 + ... an_ao) w“2, где а0, а19 а2... ап_2 — целые рациональные числа, со — число, удовлетворяющие ур-ию сом = 1. Для иррациональных чисел упомянутая теорема не всегда справедлива: например
. 21 = 3—7 = (4+ J/^5) (4-/^5), в то время как ни одно из чисел 3, 7, 4 + V — 5, 4 — V — 5 на дальнейшие множители такого же вида не разлагается. Если теперь условиться говорить, что напр-. числа 3 и 4 + J/-5 имеют общий идеальный множитель а, т. е. (3, 4 + + |/^5) = а, затем (3, 4 — j/^5) = 0, (7, 4 + 4 — J/ — 5) = у, (7, 4 — V — 5) = <5, то для каждого из наших чисел мы получим однозначное разложение на простые идеальные множители: 3 = а • 0; 7 = уд; 4 + /^=5 = а . у; 4 — V^5 = 0.<3.
Само по себе введение идеальных чисел мало помогло бы решению задачи Ферма. Здесь важно следующее: если говорить, что два идеальные числа эквивалентны, когда их частное равно «существующему» числу, и объединять эквивалентные идеальные числа в один класс, то оказывается, что число различных идеальных классов конечно. Этот факт дал возможность Куммеру доказать теорему Ферма для очень многочисленных случаев.
В 70—80 — х гг. 19 в. появляются три теории, принадлежащие Дедекинду, Золотареву и Кронекеру, которые подводят под понятие идеального числа логический фундамент. По Дедекинду, если вместо целого рационального числа а рассматривать совокупность целых чисел, делящихся на а, то такая совокупность может быть охарактеризована следующими двумя свойствами: 1. Сумма и разность чисел совокупности принадлежат к этой же совокупности.
2. Если число совокупности умножить на любое целое число, то произведение тоже будет принадлежать к этой совокупности.
Такого рода совокупность Дедекинд назвал И. Если рассматривать только рациональные целые числа, то каждому И. будет соответствовать число, на к-рое делятся все и только все числа И. Если же в роли «целых чисел» мы возьмем числа, рационально выражающиеся через корень т. наз. алгебраического ур-ия (область, поле или корпус алгебраических чисел) и притом удовлетворяющие ур-иям вида хп+ р1хп — 1+...+ рп_1х + рп= .
