Лит.: Маркс К., Капитал, т. II, 8 изд., М. — Л., 1931; Загорский К. Я., Теория ж. — д. тарифов, 2 изд., [М., 1923]; Закс Э., Экономика ж. — д. транспорта, вып. 1—2,*М., 1923—26; R 1 р 1 е у W. Z., Railroads (Rates and Regulation), N. Y., 1912;* Kirk a Id у A. W., Evans A. D., History and Economics of Transport, N. Y., [1925],• Borght R., van den, Das Verkehrswesen, Lpz., 1925.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, уравнения, связывающие искомые функции, их производные и независимые переменные. К понятию о Д. у. легче всего подойти из геометрических соображений. Если например в плоскости установлена нек-рая система Декартовых координат (см. Аналитическая геометрия), то уравнение у = тх представляет прямую, проходящую через начало координат и образующую с осью х угол а, определяемый соотношением tg а=т. Каждому значению т соответствует некоторая определенная прямая, причем все эти прямые проходят черей начало координат. Если бы мы теперь захотели искать общие свойства всей этой совокупности прямых (или, как говорят, всего семейства прямых), то мы очевидно должны были бы искать такую связь между у и х, к-рая не содержит т, т. е. не зависит от выбора данной частной прямой, а характеризует именно все семейство в целом.
Иными словами, мы должны были бы исключить постоянную т. С этой целью продифференцируем ур-ие семейства прямых: имеем у' = т. Исключая отсюда и из исходного ур-ия постоянную т, получаем Д. у. у = у'х, выражающее характерные свойства данного семейства; каждая функция у, являющаяся решением (или, как говорят, интегралом) данного Д. у., представляет собой нек-рую прямую из нашего семейства, и, наоборот, ур-ие всякой прямой, проходящей через начало координат, является частным решением (интегралом) Д. у. Ур-ие у=тх, где мы рассматриваем т как произвольную постоянную, называем общим р ешением (общим интегралом) Д. у. Все частные решения получаются из общего путем фиксирования определенных значений постоянной. Точно так же ур-ие семейства окружностей, проходящих через переменную точку (а, Ъ) и имеющих переменный радиус с, имеет вид (х — а) 2 + (у — Ь) 2 = с2. Дифференцируя это уравнение трижды, имеем: х — а + (у'- Ъ) у' = О, 1 + (У~Ь) у" + у'2 = О, (у — Ъ) у'" + Зу'у" = 0.
Исключая из двух последних ур-ий параметр Ь, получаем Д. у. Ъу'у"2 — у'" (1 + у'2) = 0; это Д. у. третьего порядка, т. е. оно содержит третью производную искомой функции, и соответственно этому ур-ие семейства окружностей, являющееся его общим решением, содержит три произвольных постоянных. Каждое частное решение получается попрежнему из общего решения фиксированием определенных значений параметров. Ему соответствует определенная интегральная кривая из нашего семейства. Из сказанного ясно огромное значение Д. у. в геометрии: Д. у. выражает общие свойства кривых нек-рого семейства, свободные от тех особенностей, к-рые специфически присущи отдельным кривым этого семейства.
Не менее важную роль играют Д. у. и в физике. Достаточно указать, что основные Ньютоновы ур-ия движения материальной точки выражают связь между ее ускорением и действующей на нее силой и вследствие этого яв 646
ляются Д. у. (см. Динамика); можно сказать, что по сути дела задачей (классической) механики ярляется интегрирование Д. у. движения. Точно так же вся классическая теоретическая физика, основанная на представлении о процессах, происходящих в непрерывной среде, опирается на Д. у., связывающие ход изменений состояния в данном месте (т. е. производные от тех или иных физических величин по независимым переменным) с состоянием соответствующих физических агентов в окружающем пространстве. Основные физические соотношения (ур-ия волнообразного распространения колебаний, ур-ия электромагнитного поля, ур-ия термодинамики и др.) являются т. о.
Д. у. Интегрирование Д. у. является поэтому важнейшей задачей математического анализа.
Эта тесная связь между физическими теориями, оперирующими представлениями о распространении процессов в непрерывной среде («теория близкодействия»), и Д. у. коренится в следующем. Основным математическим образом, которым пользуются эти теории, является силовое поле (см.). При изучении этого поля мы в большинстве случаев рассматриваем напряженность поля в каждой точке как производную (точнее градиент, см.) от потенциала тех сил, к-рые в поле действуют. Т. о. изучение распределения и свойств сил поля сводится к изучению семейства эквипотенциальных поверхностей, т. е. поверхностей, на которых потенциал сохраняет постоянное значение Д. у., для которых эти поверхности являются интегральными и обрисовывают картину поля.
Больше того, вся детерминированность классической физики (см. Детерминизм) теснейшим образом связана с представлением о Д. у., определяющих ход физических процессов. Согласно этим представлениям, гипотетическое идеальное существо (лаплассовский демон), которое владело бы Д. у. физических процессов и было бы в состоянии эти уравнения интегрировать, могло бы, зная состояние мира в данный момент, вычислить предопределенное его состояние на все будущие и прошедшие времена. Эта Классическая, по сути дела однобоко-метафизически математизированная концепция детерминизма всецело владела физикой 19 в. Но уже энтропия (см.), а затем изучение внутримолекулярных и внутриатомных процессов (см. Атом, Электрон, Кванты) ввели в физику статистические методы. Большинство буржуазных физиков, метафизически противополагающих случайность и необходимость как взаимно исключающиеся категории, сделало отсюда вывод о несостоятельности детерминизма, рассматривая физические соотношения, выраженные Д. у. исключительно как закономерности статистические. Между тем несостоятельность классической, т. е. механистической картины мира проявилась в том, что обладающие конечной массой безразмерные точки, служившие для описания физических явлений, потеряли смысл, когда оказалось, что всякая часть материи связана с волной. Вместо того, чтобы пересмотреть привычное понятие бескачественной «материальной точки», буржуазные физики отказываются от детерминизма.
По мере проникновения математического метода в различные области естествознания применение Д. у. становилось все более широким.
Всюду, гДе изучается кинетика тех или иных процессов (например скорость химических реакций и т. п.), задача сводится к написанию 21*
