теории множеств в отношении заменяемости движения стационарным состоянием см. Множество.) Всякая переменная величина х, изменяясь во времени, определяет последовательной сменой своих численных значений стационарную числовую последовательность Е, и предел а переменной величины х (если она его имеет) в точности равен пределу числовой последовательности Е. Таким образом получают свое обоснование на почве теории множеств все основные понятия теории пределов, и сама основная (и единственная) теорема теории пределов становится только одною из многих теорем о числовых стационарных последовательностях Е.
Таким же точно образом получают свое теоретико-множественное обоснование все понятия Д. и. Пусть х0 есть какая-нибудь точка, лежащая внутри отрезка (а, Ь.), и Е какое-нибудь множество точек этого отрезка, содержащее точку х0 и имеющее ее одной из своих предельных точек. Обозначим через Е+ и Е_ совокупность всех точек множества Е, лежащих соответственно вправо и влево от точки х0, и предположим, что х0 (не входящая ни в Е+ ни в Е-) есть предельная точка для каждого из двух этих множеств. В этих условиях всякая функция /(х), заданная на сегменте (а, Ъ), определяет две числовые последовательности Е+ и Е_ следующим образом: Е+ происходит от величин У(х) на множестве Е+, причем считается f(x") < f(x'), если х">х'; Е — имеет та rioe же происхождение, только считается У(х') </(х"), если х" > х'. Верхний и нижний пределы числовой последовательности Е+ называются правыми максимумом и минимумом функции /(х) на множестве Е в точке х0; аналогично верхний и нижний пределы числовой последовательности Е — называются левыми максимумом и минимумом функции / (х) на множестве Е в точке х0. Если правые максимум и минимум функции /(х) в точке х0 на множестве Е равны /(х0), тогда функция /(х) называется непрерывной справа на множестве Е в точке х0; аналогично, если левые максимум и минимум функции /(х) в точке х0 на множестве Е равпы /(х0), тогда /(х) называется непрерывной слева на множестве Е в точке х0. Если f(x) непрерывна одновременно и слева и справа на множестве Е в точке х0, она называется просто непрерывною на множестве Е в точке х0. Отношение <Р (х> = — х-хz0 — ’ рассматриваемое на множестве Е+, при условии ф(. г*)<^(. 1с/), если х">х', определяет числовую последовательность, верхний и нижний пределы которой называются правыми, верхним и нижним, производными числами функции 1 (х) на множестве Е. Если оба эти производные числа равны между собой, то их общая величина называется правой производной функции /(х) на множестве Е в точке х0. Аналогично определяется левая производная функции /(х) на множестве Е в точке х0. Когда правая и левая производные функции /(х) на множестве Е в точке Хо равны между собою, тогда их общая численная величина называется просто производною функции /(х) на множестве Е в точке х0. Если эта производная конечна, функция /(х) необходимо есть непрерывная на множестве Е в точке х0. Наконец если множество Е, к-рое было каким-угодно множеством точек на отрезке (а, Ь), лишь бы оно содержало точку х0 и имело ее предельной справа и слева, берется совпадающим с отрезком (а, Ь), тогда производная функции /(х) на Е в точке х0 просто является обыкновенною производною в смысле Коши. Бесконечномалые и сопровождающие их числа Е являются упраздненными совершенно. Таким образом все определение Д. и. получает стационарность и вместе с нею чрезвычайную общность.
Чтобы оценить обоснование Д. и. на основе теории множеств, следует прежде всего назвать его очень плодотворным. Благодаря чрезвычайной общности теоретико-множественных определений и понятий Д. и. было получено очень много тонких фактов, не предполагавшихся и даже невозможных с прежней точки зрения. Так, беря за множество Е различные множества точек, мы изучаем производную на различных множествах от непрерывных функций /(х) и, сравнивая численные результаты при разных Е, мы проникаем внутрь глубочайших структурных свойств непрерывных функций. Свойства эти являются как бы микроскопическим изучением поведения непрерывной функции в точке х0 и вскрывают необычайное богатство различных соотношений новых данных, глубоко влияющих в конечном итоге на течение самой функции /(х) на всем отрезке (а, Ь). Следует сказать, что изучение этих «микроструктур» (Данжуа) далеко еще нельзя считать законченным и по настоящее время, и сейчас еще продолжают появляться по этому предмету важйые и интересные работы. Т. о. рассматривание Д. и. с точки зрения теории множеств следует назвать очень острым, в отличие от точки зрения Коши, и давшим богатства микроструктуры неоценимой важности.
Но на основной вопрос, дает ли эта точка зрения действительно строгое построение Д. и., в настоящий момент приходится отвечать незнанием. Дело в том, что обоснование вообще всей математики теорией множеств хотя и дало интересные и очень творческие результаты, но не привело к уверенности в строгости, т. к. сама общая теория множеств, развиваемая чисто логически, вошла в столкновение с парадоксами, остановившими ее бурноеразвитие и делающими невозможнымив наст, время утверждение, что анализ является «правильно» (т. е. логически строго) обоснованным. По современным взглядам, намечается четыре течения для устранения из общей теории множеств парадоксов: логистический метод, интуиционизм, аксиоматизм и релятивизм. Но общего убеждения в том, что единственно правильным является такой-то исход, пока еще не наступило.
Как бы то ни было, само Д. и. состоит собственно в системе формул и правил, а формулы и правила эти должны быть незыблемы при всяком обосновании Д. и. Обоснование Д. и. собственно сводится к обоснованию математического континуума, а при всяких взглядах на континуум,, d . напр. формула sin x=cos х, как и все другие, останется неизменною. Далее, каково бы в будущем ни было принято решение относительно обоснования Д. и., разумеется, что накопленные знания по микроструктурам ни в коем случае не должны быть выброшены.
Существование производных. Вопрос этот, имевший когда-то большую остроту после принятия точки зрения Коши, в наст, время утратил былую жгучесть. Дело в том, что точка зрения Коши, по природе близкая к точке зрения Ньютона, не ушла далеко от рассматривания производной как скорости движения. И так как мы, основываясь на привычном нам простейшем механическом движении материальных тел, склонны приписывать всякому движению определенную скорость, то общим убеждением долгое время после реформы Коши было, что всякая непрерывная функция / (х) имеет производную кроме отдельных исключительных точек. Но вместе с тем было замечено, что все дававшиеся доказательства теоремы о существовании производной у всякой непрерывной функции [сводившейся, как стало ясным теперь, к предположению данной функции / (х) функцией с ограниченным изменением, в каковом случае /(х) действительно не имеет производной лишь в исключительном множестве меры нуль] неизменно страдали либо грубым заблуждением либо тонким предположением нек-рых частных гипотез.
Так было дело до 1871, когда Вейерштрасс, достаточно глубоко проведший арифметизацию анализа, оказался в силах установить существование непрерывной функции, не имеющей нигде производной. Пример этот вызвал живейшее недоумение, споры, но пришлось уступить силе непререкаемого факта. К тому же дальнейшие поиски на этом пути привели к построению других примеров непрерывных функций без производных и непрерывных кривых без касательных, много более простых и геометрически более ясных (Хельге фон Кох, Бибербах). Сам Вейерштрасс дал свою функцию в виде абсолютно и равномерно оо сходящегося тригонометрического ряда awcos(bw^x), где 0<а<1 и где Ъ есть целое нечетное число, боль. з шее единицы, и такое, что аЪ превосходит 1 — Ь-л. Лишь в самое последнее время обнаружено, что пример Вейерштрасса не совсем удачен и что его непрерывная функция имеет производную, правда, равную 4 — со или — со, но на бесконечном всюду плотном (и даже всюду несчетном) множестве точек. Первый пример непрерывной функции, действительно не имеющей производной ни в какой точке, дан Безиковичем.
• Но если ввести обобщение понятия обыкновенной производной, данное почти одновременно А. Я. Хинчиным и Данжуа, к-рые определяют обобщенную («асимптотическую», по А. Я. Хинчину, и «аппроксимативную», по Данжуа) производную от данной функции /(х) в точке х0, беря обыкновенную производную от /(х) на множестве Е, имеющем в точке х0 точку плотности (что обеспечивает единственность численного результата, не зависящего следовательно от выбора множества Е), то оказывается, что
Рис. 5. всякая без исключения непрерывная функция обладает в несчетном множестве точек во всяком интервале асимптотической односторонней производной (правой или левой), конечной или бесконечно-большой определенного знака.
Чтобы Иметь конкретный пример непрерывной функции без производной, или, что то же самое, непрерывной кривой без касательной, проще всего поступить так: возьмем на плоскости XOY очень тонкий и очень извилистый двухмерный шнур, пересекающийся всякой параллелью оси OY только по одному разу, и назовем его «шнурОхМ 1 — го порядка» (рис. 5).
Впишем в этот шнур 1 — го порядка другой шнур, еще более тонкий и еще более извилистый, и назовем его «шнуром 2 — го порядка». В этот последний точно таким же обра-
