Страница:БСЭ-1 Том 22. Джуца - Договор торговый (1935).pdf/323

Эта страница не была вычитана

Дана функция /(х); отыскать непрерывную функцию F(x), имеющую /(х) _ dF(x) .

своею производною, т. е. чтобы == /(х).

Проблема эта, поставленная еще при жизни Лейбница и Ньютона (около 1690), не имела общего решения в течение 220 лет, и полное ее решение пришло лишь в наши дни (1910, А. Дапжуа). Точка зрения Коши позволяет отыскивать функцию F(x) только в тех случаях, когда /(х) непрерывна, и еще для немногих разрывных функций /(х). Но имеется бесчисленно много разрывных функций /(х), положительных и меныпих единицы, 0</(х)<1, заведомо служащих производными в каждой точке непрерывных функций F(x) и однако таких, что отыскать эти непрерывные функции F(x) применением интегрирования, по Риману, невозможно (что доказывается абсолютно строго); значит для отыскания соответствующих непрерывных F (х) необходимо применить высшие приемы интегрирования, что неизбежно связано с существенным выходом за точку зрения Коши.

Точка зрения теории множеств. Эта точка зрения, связанная более с идеями Лейбница, чем Ньютона, прежде всего удаляет из анализа все переменные величины, всякое изменение, движение и все сводит к одним только стационарным состояниям, т. е. к постоянным величинам. Обоснование Д. и., столь блестяще выполненное Коши в начале 19 в., продолжало приобретать все большее и большее число сторонников. Сам Коши был математик могучей творческой силы; дело обоснования Д. и. он не рассматривал как главную свою задачу, т. к. чувствовал для анализа еще и другие творческие возможности, и, видя ясно ограниченность всякого критического пути, выполнил дело обоснования как бы мимоходом. Но критическое настроение в среде математиков все более и более усиливалось, особенно после критических этюдов Абеля (1802—29) и Гаусса (1777—1855). Но наиболее полное выражение критическое направление умов получило в деятельности Вейерштрасса (1815—97). Относительно математической личности Вейерштрасса большинство современных математиков повидимому приходит к согласию в том, что ее центром й смыслом было подведение числовой основы под всю математику, «арифметизация математики», и критический пересмотр различных теорий. Его отличие от Коши состояло в том, что в то время как в высшей степени творческий ум Коши видел всюду еще и Многие другие возможности для математического анализа, вполне равноценные характеристике феноменов математического анализа, геометрии, механики или физики посредством числа, в это время критический ум Вейерштрасса, проникнутый лишь одной идеей упиформизации математики на почве числа, идеей «арифметизации математики», обнаруживал самый яркий рационализм в своих построениях. Вейерштрасс систематически изгоняет трактование идей анализа применением геометрии и заменяет его арифметическим трактованием. Правда, математика становится как бы ограниченной для взора, но зато такая ее униформизация на почве числа дала возможность доказательства таких предложений, к-рые расходились с общим ожиданием или,, во всяком случае, далеко выходили за их пределы. Таково напр. существование непрерывных функций, нигде не имеющих производной. Однако дальнейший исторический ход событий показал, что эта униформизация математики, проведенная с такою энергией Вейерштрассом, сама в свою очередь стала источником расхождения взглядов математиков на основы анализа, превратившегося, по мнению нек-рых авторов, в его кризис. Ближайшей причиной этого послужила т. н. теория множеств.

Теория множеств как систематическое учение была основана Г. Кантором (1845—1918) в 1861 и была развита им в ряде статей. Его идеи имели необыкновенный успех и, положенные в основу самых разнообразных исследований, послужили к возникновению ряда новых ветвей математики, из к-рых важнейшею является современная теория функций действительного переменного. Сам Кантор исходил при открытии теории множеств из теории тригонометрических рядов. Но потом его учение перешло в общую теорию множеств, в классификацию актуальных бесконечностей и в создание т. н. трансфинитных чисел.

Благодаря созданию Кантором высших континуумов обычная «старая» математика превратилась в маленькую провинцию общей теории множеств. Вещи оказались впоследствии ещеболее грандиозными, и труды Пеано (1858—1927), Фреге (1848—1923) и Дедекинда (1831—1916) показали, что вообще вся математика может быть построена на основе общей идеи множества. Общая теория множеств стала для математиков нежданною областью, в недрах к-рой рождались математические идеи, формируясь там, и оттуда появлялись постановки проблем. Обоснование Д. и. на почве теории множеств совершается так, что прежде всего должна быть обоснована сама теория пределов и представлена в совершенно новом виде. Теория множеств вся построена на идее т. н. актуальной бесконечности. Еще до Вейерштрасса обычная теория рядов с положительными членами являла пункты, формулированные в терминах теории множеств и возможные к пониманию только в свете идеи актуальной бесконечности. Таковазнаменитая теорема о том, что «сходящийся ряд с положительными членами не изменяет суммы при перестановке его членов»: здесь бесконечный ряд необходимо мыслится как совокупность всех его членов, уже найденных, вместе собранных и как бы помещенных в сосуд, при переворачивании к-рого изменяется порядок членов, без изменения однако самой суммы. Другой пункт, требующий введения актуальной бесконечности, это сама теория иррациональных чисел; кроме того всякое иррациональное число, напр. К2, будучи разложено в бесконечную десятичную дробь, определяет сразу всю совокупность всех ее членов.

Для построения Д. и. на почве теории множеств прежде всего должна быть развита теория иррациональных чисел. З. дтем вводится понятие точечного множества и понятие предельной точки: точка в, принадлежащая или нет к данному множеству точек Е, лежащему на прямой, называется предельной для множества Е, если всякий интервал <5, содержащий ее внутри (в строгом смысле, т. е. не на конце), содержит бесконечно много точек множества Е. Конечное множество Е (т. е. состоящее из конечного числа точек) не может иметь, по самому определению, никакой предельной точки. Согласно теореме Вейерштрасса, всякое бесконечно ограниченное (т. е. лежащее на. конечном отрезке) множество точек непременно допускает хотя бы одну предельную точку. Ограниченное множество точек Е называется замкнутым, если оно содержит в себе все предельные к нему точки. Всякое ограниченное замкнутое множество точек Е необходимо имеет самую первую (идя по прямой в положительном направлении) и самую последнюю точку. Основной теоремой о замкнутых множествах является та, что общая часть любого множества замкнутых множеств есть всегда замкнутое множество. Множество всех предельных точек для данного множества Е называется производным множеством от данного множества Е и обозначается как Е'.

Производное множество Е' есть непременно замкнутое множество, каково бы ни было начальное данное множество Е. Соединение Е + Е' начального данного множества Е и его производного множества Е’ есть всегда замкнутое множество. Следовательно множество Е + Е' имеет самую первую (иначе — начальную) и самую последнюю (иначе — конечную) точку при обходе прямой, на которой лежит Е, в положительном направлении. Обе эти точки играют исключительно важную роль: самая первая точка множества Е + Е' называется нижней границей данного множества Е и самая правая точка множества Е+Е'называется верхней границей данного множества Е.

Для того чтобы обосновать теорию пределов на почве теории множеств и дать ей другое понимание, вводится понятие упорядоченного множества: множество Е, составленное из каких-нибудь элементов, называется упорядоченным, если о всяких двух его элементах а и Ъ можно сказать, какой из них предшествует и какой является последующим: если а предшествует Ь, это записывают в виде а<Ь. Чтобы совсем избавиться от идеи пространства или времени, исходят из следующего определения: множество . Е, составленное из каких-либо элементов, называется упорядоченным, если определено для его элементов соотношение, выражаемое знаком <и обладающее следующими двумя свойствами: 1) если а и b суть два нетождественных элемента множества Е, то из двух соотношений а<Ь и Ъ <а обязательно верно одно и только одно; 2) если а, b и с суть три нетождественных элемента множества Е, то соотношения а<Ь и Ь<с делают обязательным соотношение а < с. Упорядоченное множество Е называется последовательностью, если среди элементов множества Е нет самого последнего, т. е. если для всякого элемента а множества Е имеется в Е такой элемент, что а<Ь.

Затем вводятся стационарные понятия верхнего и нижнего пределов последовательности чисел Е следующим образом. Пусть Е есть последовательность каких-нибудь чисел или точек числовой прямой, что одно и то же.

Возьмем какой-нибудь элемент а последовательности Е.

Пусть Fa есть совокупность всех элементов последовательности Е, следующих за элементом а, и включая сюда самый элемент а. Согласно предыдущему, множество Fa, определенное равенством Fa  — Ea + Ea, есть замкнутое.

Т. о. является определенной последовательность замкнутых множеств Fa, из к-рых всякое последующее Fj содержится в предыдущем Fa, где а<Ъ. При этих условиях доказывают, что общая часть всех замкнутых множеств Fa есть непустое множество, т. е. действительно содержащее точки. Согласно предыдущему, F есть замкнутое множество. Пусть А есть нижняя граница множества F и В  — верхняя граница этого множества. Числа А и В определяются очевидно единственно через данную числовую последовательность Е и называются соответственно нижним и верхним пределами данной числовой последовательности Е. Если числа А и В совпадают, А = В, тогда данная числовая последовательность Е называется сходящейся и тогда общая величина А = В называется пределом последовательности Е.

Как видно из сказанного, актуальная бесконечность и теория множеств позволяют в самом деле формально обойтись без понятия переменной величины, и предел числовой последовательности Е определяется словесно вполне стационарно, без всякой идеи изменения, движения и приближения. (Для углубленного анализа идей