Страница:БСЭ-1 Том 22. Джуца - Договор торговый (1935).pdf/321

Эта страница не была вычитана

Теперь, чтобы обосновать Д. и., берут чертеж собы обоснования, — по преимуществу такие, к-рые непригодны для этой цели. Сюда отно

Ньютона (рис. 4), причем предполагают, что сятся попытки Ивана Бернулли (1667—1748) и изображенная там кривая имеет своим уравЭйлера (1707—71) рассматривать дифферен

нением у = f(x)'. Пусть координаты точки С циал как нуль. Непригодна формальная кривой суть хиуи пусть координаты точки сг попытка Лагранжа (1736—1813) рассматривать близкой к С, суть х + Дж и у + у, где «и by производные как коэффициенты ряда Тейлора. наз. приращениями переменных х и у.

Оказались также бесплодными усилия ввести Так как точка с лежит на кривой, имеем у + актуально-малые, т. к. на теории неархимедо

+ by = f(x + bx); отсюда by=f(x + bx) — f(x}. На вых величин нельзя обосновать Д. и. Одновре

чертеже Ньютона СЕ = Ьх и сЕ = Ьу. Ясно, менно с дискуссией об основании Д. и. шли что имеем tg (ЕСс) = ~. Пусть теперь точка дискуссии относительно бесконечных рядоЯ, т. к. употребление расходящихся ря

с безгранично приближается к точке С. Тогда, дов в 18 в. было совершенно некритическим секущая СК поворачивается и стремится к ка(Эйлер). Таким было положение вещей даже в сательной СН, как к своему пределу. Значит начале 19 в. Так, в 1826 Абель (1802—28) жа

tg (ЕСс) является переменной величиной, имеюлуется на то, что «математический анализ оку

щей своим пределом тангенс наклона касательтан туманом, хотя и имеется много верных пред

ной к оси абсцисс, т. е. lim tg (ЕСс) = tg (ВАС). ложений, недоказанных однако прочным обра

Отсюда следует, что искомый тангенс наклозом». Приближалось время критики, и дискус

на касательной является пределом отношения, сии вызывались также введением мнимых чисел ~, в символах tg ВАС = lim ~=lim/(x+A^) Дх ’ .° Дх ДХ ’ и даже вещественных отрицательных чисел. где Дж и by суть две бесконечно-малые величиСогласно современным взглядам, начало дей

ны. обр. отыскание касательствительно строгому обоснованию дифферен

нойТак. к заданной кривой произвоциального исчисления положил Коши (Augustin дится при помощи алгебраическо Cauchy, 1789—1857). Его точка зрения прини

го отыскания предела отношения мается и в настоящее время преобладающим двух бесконечно-м ал ыхвеличин числом математиков, работы которых проте

на основе теории пределов. кают в классических областях математики, и Указанный предел lim, предполагаемый на эту же самую точку зрения нередко становится современная педагогика. существующим, в общем случае зависит от ж.

Точка зрения теории пределов. Поэтому этот предел является некоторой новой По взглядам Коши, для полного обоснования функцией независимой переменной х. Эта функматематического анализа прежде всего должна ция наз. производной от данной быть построена т. н. теория пределов (см. Преде

функции f(x) и, следуя Лагранжу (1736  — лов теория). С этой целью сперва вводится по

1813), обозначается через /'(ж). Самый пронятие переменной величины, проходя

цесс получения производной f'(x) из данной щей последовательно через различные функции f(x) наз. дифференцировачисловые значения, среди к-рых нет само г б нием функции f(x) по независимой переменпоследнего;в каждый момент времени пе

ной х. Беря производную от f'(x), мы прихоременная х имеет одно строго определенное чи

дим к новой функции, к-рая наз. второй словое значение. Мы говорим, что переменная производной от данной f(x) и обозначавеличина «стремится к пределу», ется через f"(x); дифференцируя f "(х), мы поесли, каково бы ни было положительное число е, лучаем третью производную f"'(x) и т. д. Так. начиная с некоторого момента времени, осу

обр. создается понятие о производных высществится и будет сохраняться неравенство ших порядков.

|«-а|<в, т. е. если разность (ж  — а) по абсоГениальным является обозначение производлютной величине в нек-рый момент времени ной, принадлежащее Лейбницу. Производная сделается и останется меньше, чем s. Отсюда и от функции у = f (х) обозначается через симследует, что переменная величина х может > или даже их как ~ f(x). Здесь иметь только один предела или же мо

вол ~ (X Л, или их жет не иметь совсем никакого предела. Когда du число а есть предел переменной величины «, в своем первом значении дробь то пишут символическое равенство lim « = а. есть только символическая, т. е. является проНаконец переменная величина х называется сто стилизованным обозначением производбесконечно-малой, если ее предел равен ной, вызывающим в нашей памяти самый пронулю, т. е. если lim х = 0. Как выше было объ

цесс получения производной, как предела исяснено, всякая бесконечно-малая есть переменная величина,*и постоянных бесконечно

тинной дроби ~. Таким образом числитель dy малых, отличных от нуля, с этой точки зрения в своем первом значении есть только символический, не имеющий числового математине существует для современного анализа.

Теория пределов вся состоит собственно из ческого смысла. Но затем, по мере развития одного только предложения: предел суммы, Д. и., было найдено в высшей степени целесоразности, произведения и частного двух пере

образным последовать примеру Лейбница и менных величин равен сумме, разности, про

придать знаменателю dx и числителю dy конизведению и частному соответствующих пре

кретный числовой смысл. С этой целью берут делов. В символах произвольное конечное приращение независимой переменной х и полагают dx = lim (х 4  — у) = lim х + lim у\ lim (х  — у) = lim х  — Ьх Ьх. В этих условиях dx уже утрачивает свой  — limу; lim(ху) = limх • limу; Ит^ = ^^, исключительно символический характер и становится новой независимой перепричем предполагается, что предел знаменате

менной, будучи совершенно произвольля lim у не равен нулю, — т. к. деление на н ы м; это dx называется дифференциануль принципиально невозможно. лом независимой переменной х,