щадь кривой (1 — ж2) После в высшей степени сложного и трудного анализа Валлис приходит к своему известному изображению числа п в виде бесконечного произведения п 2*2"4—4«6«6 ... тт т-.
=zRкп.. - • Изучение этого места у Валлиса повело Ньютона сперва к открытию его знаменитого бинома, а затем к размышлениям о том, каким образом вообще находить фактически квадратуру кривой. Эти размышления привели Ньютона ок. 1665—66 к замыслу нек-рого общего метода, названного им методом флюксий и изложенного сначала очень бегло в рукописи «De analysi per alquationes numero termi no rum infinitas», написанной в 1669 и опубликованной в 1711, и затем более подробно в рукописи «Method of Fluxions», написанной в 1671 и опубликованной в 1736. Нежелание публиковаться и стремление отложить печатание было вообще одной из черт характера Ньютона, ценившего более всего на свете внутренний покой и возможность невозмущаёмого ничем течения размышлений. Впервые метод флюксий увидел свет, когда появилось первое издание знаменитых «Principia» Ньютона, где в примечании, как бы мимоходом, едва намечены основы этого метода, хотя он насквозь проникает «Principia» и фактически подчиняет себе содержание этого труда.
Это произошло в 1687. В этом методе флюксий основной идеей Ньютона было рассмотрение переменных количеств v, х, у, z... как текущих (fluents) и тех скоростей, с которыми они текут. Ньютон эти скорости называет флюксиями (fluxions) и обозначает их соответственно через v, х, у, z... Чтобы избавиться от упрека, что в геометрию и анализ вводится чуждое им понятие времени, Ньютон замечает, что он лишь формально рассматривает независимое переменное (абсциссу) как время. В этих условиях, согласно Ньютону: «площадь кривой есть непрестанно рождающееся количество, увеличивающееся непрерывной флюксией, пропорциональной ординате кривой». Из этих слов ясно, что флюксия пропорциональна производной или дифференциалу.
Но затруднительно сказать, рассматривает ли Ньютон флюксию как конечное количество (т. е. как производную) или как бесконечно-мало е(т. е. как дифференциал). В этом отношении у Ньютона нет полной ясности, и даже можно установить, что его доктрина не оставалась неизменной, но менялась с течением времени в зависимости от выдвигавшихся против нее возражений. Чтобы отметить разницу точек зрения своей и Лейбница, Ньютон пишет («Quadrature of Curves», 1704): «Я рассматриваю математические количества не как состоящие из очень маленьких частиц, а как описанные непрерывным движением. Это образование в природе вещей и ежедневно наблюдается в движении тел. Флюксии суть как бы наращения количеств, образованные во времени, малые, как угодно; строго говоря, они находятся в первом отношении к рождающимся наращениям; несмотря на это, они могут быть изображены всякими линиями, им пропорциональными». Эти утверждения Ньютон иллюстрирует на проблеме проведения касательной.
Приводимый чертеж Ньютона (рис. 4) отличается от черт. Барроу (рис. 3) лишь проведенной хордой СК. Согласно Ньютону: «Когда ордината Ьс, двигаясь к ВС, совпадает с ней, тогда Ес абсолютно будет равно ЕТ; тогда жекривой треугольник СЕс станет подобен треугольнику СЕТ и значит уничтожающиеся стороны этого криволинейного треугольника станут пропорциональными сторонами треугольника СЕТ. Отсюда следует, что флюксии линий АВ, ВС и АС, будучи в последнем отношении с их уничтожающимися наращениями, суть пропорциональны сторонам треугольника СЕТ или треугольника АВС. Пока Ъ не совпала с В, линия СК мало отклоняется от СН, но все-таки отклоняется. Но когда СК совпадает с СН и линии СЕ, Ес, сС достигнут их последнего отношения, тогда точки Сисв точности совпадут». Приведенное место поРис. 4. называет, сколь необходима была для этих вещей теория пределов и как трудно было быть понятым без нее: уже современники Ньютона много спорили об его «первых» и «последних» отношениях, в введении которых Ньютоном можно видеть намек на современную теорию пределов. Но хотя у Ньютона не было идущих с самого начала ясных формальных определений, хотя он и не дал ни таблиц производных и интегралов ни ряда основных теорем, составляющих обычный скелет дифференциального и интегрального исчисления, однако оба эти исчисления полностью раскрывают свое содержание и свою мощь в работах Ньютона; по мере надобности Ньютон с величайшей легкостью проводит касательные к любым встретившимся в его исследованиях кривым, вычисляет кривизну, находит площади, длины дуг, центры тяжести, экстремумы и т. д. Ньютон без труда, благодаря изобретенному им общему приему, отыскивает производные неявных функций, и ему удается интегрировать не только обыкновенные дифференциальные уравнения, но и уравнения с частными производными. Эта общность и гибкость в применениях была достигнута Ньютоном благодаря концепции флюксии (производной) и благодаря специальному для нее обозначению, вследствие чего стал возможным общий алгорифм, хотя он на деле и оказался громоздким.
Лейбниц (1646—1716) исходил при открытии Д. и. из совсем других соображений.
Насколько Ньютон был натуралист, для к-рого скорость тел была чем-то самодовлеющим, настолько Лейбниц был чистый логик, для которого количества не возникали путем движения, но были даны как суммы бесконечно-малых разностей, «элементов»; здесь отголосок его философской доктрины монад. В 1666, в бытность свою в Германии, Лейбниц публикует сочинение «De arte combinatoria», в к-ром он дает план теории математической логики, т. е. нек-рого символического метода, вроде алгебры мышления, где процесс непосредственной ищущей живой мысли сделался бы ненужным, т. к. искусство думать было бы сведено к алгебраическим выкладкам. Эта идея, существовавшая еще в средние века, внушена была Лейбницу изучением «Геометрии» Декарта, в которой в самом деле непосредственные размышления над чертежом
