023,
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
оставалось неприкосновенным. С другой стороны, речь всегда шла не о вычислении положения касательной, а о точном ее построении, т. е. о таком использовании элементов данной фигуры, при котором становилось возможным — после анализа этих, элементов — фактическое проведение той прямой, которая должна оказаться касательной. Важно заметить, что у античных геометров отсутствовала общность метода решения различных задач: не было классификации кривых, и всякое построение касательной осуществлялось глубоко частным методом, вытекавшим из анализа именно данного случая и вообще уже неприложимым ни к какому другому случаю (см. Геометрия).
Эпоха Возрождения. После разрыва античных традиций вопрос о проведении касательной ставится заново в эпоху Возрождения. Следует прежде всего упомянуть о Кардане (1501—76). Одним из первых он ввел кинематический момент в определение касательной, рассматривая ее как предельное положение вращающейся секущей. Начиная с этого момента, задача о проведении касательной становится в центре внимания европейской математической мысли. Легко указать ближайшую причину этого. Для античных геометров касательные скорее служили ценным инструментом для открытия важных и глубоко лежащих свойств фигур, нежели имели самодовлеющее значение. Для геометров же нового времени оказалось важным не столько статическое построение касательной, сколько вычисление (хотя бы даже приближенное) ее положения. Надо иметь в виду, что, начиная с 16 века, физические и астрономические науки настойчиво требовали создания бесконечномалой геометрии, без к-рой ходу их развития грозила остановка: теорема площадей требовала квадратур, задача отыскания центров тяжести фигур придала квадратурам совершенно реальное значение; астрономии необходимо было определение объемов тел вращения, т. е. кубатуры, которых не оказывалось в известных тогда сочинениях Архимеда. С другой стороны, математич. сторона явлений природы, установленная Галилеем, и попытки анализировать криволинейное движение дали не менее реальный смысл задаче об определении касательной. Именно в связи с этим с указанного времени начинают искать определения касательных для возможно большего числа кривых, как известных еще античным геометрам, так и открытых лишь в новое время.
Из ученых, ставших на этот путь, нужно указать прежде всего кроме Кеплера (1571—1630) на самого Галилея (1564—1642) и на его учеников — Кавальери (1598—1647), Торричелли (1608—1647) и Вивиани (1622—1703). Все четверо пользовались с этой целью особым методом геометрических бесконечно-малых, к-рый ими назывался «методом неделимых».
Метод неделимых. Согласно современному определению, бесконечн о-м алой называется такая переменная величина а, которая удовлетворяет следующему ряду условий: 1) она конечна в каждый момент времени и имеет строго определенное числовое значение; 2) среди числовых значений, пробегаемых последовательно . величиною а, нет самого последнего; 3) каково бы ни было положительное рациональное число в, цаступит такой момент, начиная с к-рого абсо — 624
лютная величина |а| сделается и будет впредь оставаться меньше, чем е, т. е. с этого момента всегда будет справедливо неравенство: |а| < е.
Так. обр., согласно современным взглядам, бесконечно-малая величина, будет ли это геометрическая величина или же величина, заимствованная из анализа, есть — по самой своей природе — п временная конечная величина, лишь становящаяся с течением времени и остающаяся сколь угодно близкой к нулю. Что же касается до постоянного бесконечномалого количества, отличного от нуля, то современный математический анализ, не отрицая формальной возможности логически определить идею постоянного бесконечно-малого (например как соответствующий отрезок «неархимедовой» геометрии), рассматривает эту идею как совершенно бесплодную, так как ввести его в исчисление оказывается невозможным.
Возвращаясь к методу неделимых, следует отметить, что под неделимыми тогда понимали как-раз постояннее бесконечномалые. Но одновременно с этим относительно истинной природы неделимых в то время царит ли весьма смутные взгляды. Неделимые употреблялись практически, причем изредка это приводило к ошибкам в конечных выводах, обусловленным как-раз смутностью взглядов на неделимые, потому что предохранительной логической ясности не было, а интуиция иногда подсказывала ложный конечный итог. Наиболее стройный вид учению о неделимых пытался придать Кавальери. Считаясь с возражениями Аристотеля и средневековых схоластов против неделимых «в себе» — возражениями, устранить к-рые Кавальери не считал возможным, — он вводит неделимые не абсолютным образом, а относительным, стараясь, чтобы неделимые фигурировали лишь в отношениях. Так как невозможно, чтобы «нечто» было суммою чистых «ничто», то неделимые, собственно говоря, столь же сложны, как и само целое, если рассматривать их «в себе».
Но истина, по Кавальери, заключается именно в том, что неделимые имеют не абсолютное, а относительное существование, будучи в состоянии фигурировать в отношениях. Подобно тому, как единица масштаба для геометрии сама по себе (т. е. абсолютным образом) не нужна, будучи необходимой лишь для сравнения размеров фигур, так и неделимые, необходимые для сравнения между собою разнородных фигур, исчезают сами собой в конце вычислений, являясь в их ходе лишь промежуточной ступенью. Сравнение неделимых — вот то новое, что внес Кавальери. Однако, как бы ни было шатко теоретическое обоснование неделимых, практически их теория оказалась очень плодотворной. В частности удалось провести касательные ко многим кривым, для к-рых античные математики не имели соответствующих построений. Была наконец изучена столь важная новая и неизвестная античным геометрам кривая, как циклоида (см.). Касательная к циклоиде была проведена учениками Галилея.
Почти в это же время метод неделимых . рассматривался и во Франции Паскалем (1623—1662), Робервалем (1602—75) и Гюйгенсом (1629—95). Впрочем Гюйгенс, получая новые результаты методом неделимых, предпочитал публично излагать эти результаты лишь методом античных геометров, т. е. синтетически.
