является существеннейшей задачей метода бесконечно-малых. Первый этап этого метода заключается в построении так наз. «бесконечномалых», напр. касательной, проходящей через две «бесконечно-близкие» точки кривой; второй этап заключается в установлении закономерной связи касательных в нек-рой окрестности точки при помощи дифференциальных законов, которые выявляют структуру как тенденцию, и наконец третий этап, который методами интегрирования или иными методами синтезирует структурные свойства (тенденции) кривой, дает нам геометрические свойства образов. Типичными законами такого рода являются формулы Френе в теории кривых и формулы Вейнгартена в теории поверхностей (кинематическое значение этих формул показал Дарбу), а также все те формулы, которые устанавливают закономерную связь бесконечно-малого со структурой окрестности данной точки. Т. о. часто можно свойства фигур вывести из этих законов путем весьма сложных вычислений.
Эти т. н. синтезирующие методы могут либо характеризовать геометрически лишь известную окрестность образа, и такими проблемами занимается «геометрия в малом» («Geometrie im Kleinen»), либо давать свойства всего образа как такового; этим занимается «геометрия в целом» («Geometrie im Grossen»). Само собой разумеется, что метод бесконечно-малых является методом «геометрии в малом»; как таковой он имеет основное значение при обработке лишь этого рода проблем и адэкватен их сущности. Иначе обстоит дело с проблемами «геометрии в большом». Чтобы показать это, рассмотрим простейший пример из Д. г. Известно, что участок поверхности, напр. часть поверхности шара, можно изгибать без растягивания и образования складок. С другой стороны, доказано, что всю поверхность шара из гибкого и нерастяжимого материала в целом нельзя изгибать без растяжения и образования складок. Т. о. из известных структурных свойств некоторой части сферической поверхности нельзя сделать никаких заключений относительно этих свойств всей поверхности в целом. Сферическая поверхность как целое обладает известными структурными свойствами, присущими ей именно как целому и не могущими быть выведенными из свойств частей сферы. «Д. г. в большом» занимается свойствами геометрических образов как целого. До последнего времени она не нашла еще, если можно так выразиться, имманентного ей метода, к-рый дал бы возможность решать проблемы «геометрии в целом» с таким же успехом, как это делает метод бесконечно-малых в геометрии окрестности данной точки, в «геометрии в малом». Проблемы «геометрии в целом» принадлежат к числу интереснейших и труднейших проблем Д. г.
Отметим здесь только несколько проблем этого рода: жесткость яйцеобразных поверхностей, проблемы замкнутых геодезич. линий на яйцеобразных поверхностях, изопериметрическая проблема, проблема минимальных поверхностей с заданным замкнутым ограничением, невозможность вмещения всей плоскости Лобачевского без особых мест в Евклидово трехмирное пространство и т. д. — По содержанию Д. г. в Евклидовом трехмерном пространстве можно разбить на 4 части: теория кривых, теория поверхностей, теория конгруенций (см.), развившаяся в связи с задачами геометрич. оптики, и теория триортогональных систем. |Теория кривых. Для изучения свойств пространственных кривых пользуются обычно уравнениями: ®= y=v(t); &=%(?), (4) дающими текущие координаты точки х, у, z в функции некоторого параметра I. Основными понятиями теории кривых являются: кривизна и кручение. Кривизна пространственной кривой определяется как предел отношения угла между двумя бесконечно-близкими касательными dcu к дифференциалу дуги ds: = Эта величина служит мерилом быстроты уклонения в данной точке кривой от касательной.
Если кривая плоская, то зависимость к от s вполне определяет внешний вид кривой. Для пространственной же кривой необходимо еще знать быстроту ее уклонения от плоскости, к-рая характеризуется кручением (см.), т. е.
do 1 отношением т = ^, где da — угол между двумя бинормалями (см.) кривой в двух очень близких точках, a ds — попрежнему дифференциал дуги.
Для плоской кривой очевидно во всех точках т = 0. Вся теория пространственных кривых по существу сводится к изучению их свойств по отношению к кривизне и к кручению (см. Кривые).
Теория поверхностей. Основными проблема ми теории поверхностей являются следующие: 1) исследование геометрических свойств данной поверхности и 2) нахождение поверхности с данными свойствами. Чтобы определить поверхность аналитически, Гаусс. предложил выражать текущие Декартовы координаты точек поверхности в функции двух независимых параметров и и v: х = <р(и, v)\ у = у>(и, v); 2 = %(и, v).
(5) Совокупность этих трех ур-ий и представляет конечные . ур-ия поверхности. Если из этих трех ур-ий исключить и и м, то получится одно ур-ие F (ж, у, z) = 0 между текущими координатами; это последнее ур-ие, по разрешении относительно z, дает z = f(x, у).
Это есть уравнение поверхности в его простейшем виде. Для исследований же общего характера ур-ия (5) имеют несомненное преимущество перед ур-иями: у, £) = 0; z = f(x, у).
Если в ур-иях (5) мы дадим параметру и постоянное значение и = С, мы получим на нашей поверхности некоторую кривую линию к; придавая С различные значения, мы будем получать и различные кривые (к). Совокупность этих кривых образует на поверхности т. н. семейство линий и. Подобным же образом, рассматривая кривые, вдоль к-рых v не меняется, мы получим семейством. Так. обр. вся поверхность покрывается двойной системой кривых линий, так наз. линий координат. Такого рода двойная система образует на поверхности так наз. сеть. Эта система кривых позволяет определять каждую точку М поверхности с помощью тех чисел и и м, которым отвечают координатные кривые, пересекающиеся в точке М. Эти числа и и v называют криволинейными координатами точек на поверхности. С этой точки зрения всякую кривую на поверхности можно задавать ур-ием, связующим криволинейные координаты и и м.
Первый вопрос, который приходится решать в Д. г. поверхностей, есть вопрос о вычислении дифференциала дуги кривой линии, лежащей на поверхности. Возьмем
