тоде, a dx — дифференциальная частица от х (die Differentielle von х) — ту же, что там Дж» (там же, стр. 33). Но т. о. с дифференциального исчисления сорван окутывавший его «покров тайны» и вскрыт секрет успеха методов Ньютона и Лейбница. Стимулированные потребностями астрономии и механики, развитие к-рых в свою очередь было вызвано ростом производительных сил, обусловленным переходом от феодального строя к капитализму, математики 17 в. принуждены были ввести в математику переменную величину, а с введением последней стало немедленно необходимым, как замечает Энгельс, дифференциальное и интегральное исчисление. Однако, как это почти всегда бывает в истории науки, они начали при этом с конца — с исследования вопроса в его сложной форме, до того, как он выяснен был в простой.
Благодаря тому, что Ньютон и Лейбниц действовали с самого начала с Д., они могли сразу же пользоваться всеми оперативными преимуществами, доставляемыми употреблением последних, несмотря на то, что применяемые ими операции были математически неправильными и все исчисление носило метафизический и даже мистический характер. Д. у них «были введены с самого начала по определению как самостоятельные, отделенные от переменных величин, из к-рых они возникли, существования, а не выведены каким-либо математическим путем» (там же, стр. 57). Не умея спуститься до простейших и первоначальных отношений, брались сразу за Д., и интеграл и спрашивали непосредственно, что такое дифференциал? что такое интеграл? Совершенно такую же картину Ленин отмечает относительно домарксовых исторических теорий. «Да в чем состояли, — пишет Ленин, — на 9/1п эти теории? В чисто априорных, догматических, абстрактных построениях того, что такое общество, что такое прогресс? и т. п... Ведь начинать с вопросов, что такое общество, что такое прогресс? — значит начинать с конца... Это самый наглядный признак метафизики, с которой начинала всякая наука: пока не умели приняться за изучение фактов, всегда сочиняли a priori общие теории, всегда остававшиеся бесплодными». («Что такое „друзья народа“...», Соч., т. I, стр. 64). Последнее совершенно справедливо и в отношении той метафизики, с помощью которой Ньютон, Лейбниц и их последователи не столько объясняли, сколько извиняли созданное ими и притом чрезвычайно плодотворное норое исчисление.
Работа Маркса по обоснованию дифференциального исчисления, не оконченная вследствие того, что Марксу не удалось раздобыть сочинения Ландена, в к-рых он полагал встретить методы, аналогичные его собственным, оценена в письмах Энгельса (от 18 августа 1881 и 21 ноября 1882) как заслуживающая величайшего внимания. .
Диалектический материализм отрицает как возможность формально-логического обоснования понятия Д. (и дифференциального исчисления), так и возможность построения этого понятия на одной лишь чувственной наглядности, на графических изображениях ит. п. и устанавливает в Д. своеобразное абстрактное количественное отображение движения материальных явлений. Устанавливая связь дифференциального исчисления с алгеброй, исторический и логический генезис Д. — из конечной разности, диалектический материализм не стремится од 608
нако лишить дифференциальное исчисление его специфичности и, наоборот, порицает попытки свести дифф, исчисление к арифметике как явно несостоятельное, что подтверждается историей их крушения (см. Формализм, Логистика, Интуиционизм).
Э. Кольман и С. Яновская.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ, математическая дисциплина, посвященная изучению геометрических форм: кривых, поверхностей, семейств линий и т. д., при помощи методов анализа бесконечно-малых. Пользуясь этими методами, Д. г. служила вместе с тем одним из главных стимулов к их разработке.
Первыми своими результатами Д. г. обязана Эйлеру и Монжу. Несмотря однако на важность теорем, открытых ими, можно сказать, что это было скорее приложение методов анализа бесконечно-малых к изучению отдельных вопросов геометрии, нежели самостоятельная отрасль математики (см. Геометрия). Впервые Д. г. появляется как самостоятельная наука со своими методами и задачами в сочинении Гаусса «Disquisrtiones generales circa superficies curvas» (1827)., Это сочинение дало толчок ко всему дальнейшему развитию Д. г. и содержит в себе программу этого развития для всего минувшего столетия. Методы, введенные в Д. г. Гауссом, служат до сих пор основою всех работ по Д. г. Предмет и цель Д. г. — те же, что и всякой другой геометрической дисциплины: исследование свойств и закономерностей пространственных образов в самом широком смысле этого слова. Однако в течение 19 и 20 вв. само понятие пространства постоянно расширялось и обогащалось, что имело частично физическое обоснование (фазовое пространство в механике, теория относительности, волновая механика), частично геометрическое. Геометрия всегда находилась в тесном контакте с физическими дисциплинами. В своем развитии обе эти науки постоянно оплодотворяли друг друга, и как результат этого тесного взаймопроникновения возникла в 19 в. Д. г. С одной стороны, Д. г. стала важным орудием физического исследования (тензорное исчисление), с другой — многие физич. дисциплины прямо приняли облики Д. г.
(уравнения движения в форме Лагранжа, теория относительности и др.). Эта тесная связь коренится в том, что геометрия отражает материальные, объективные свойства и закономерности; она ударяет по всем формалистическим и интуиционистическим направлениям в математике.
Векторы. Тензоры. Инварианты (см. Вектор, Векторное исчисление). Предмет Д. г. можно кратко характеризовать так: Д. г. занимается кривыми фигурами. Для овладения этими образами Д. г. в процессе своего развития создала аппарат, к-рый адэкватен этим объектам и полностью соответствует их внутренней сущности. Этим аппаратом является векторное и тензорное исчисления, которые выявляют протяженность геометрических величин и инвариантный характер геометрических соотношений. Для исследования экстенсивов (направленные отрезки, определенные положения) и инвариантных соотношений чистый координатный метод аналитической геометрии не является подходящим. Он вносит в исследование случайные моменты, чуждые свойствам самих геометрических объектов. Однако Д. г. пользуется методом координат и тем не менее выявляет протяженный характер геометрических величин. Это внутреннее противоречие обоих
