Если изобразить функцию у = f (х) в виде кривой, отнесенной к Декартовой системе координат, и рассмотреть приращение ординаты соответствующее переходу от точки М с абсциссою х к точке М' с абсциссою х + Дх, то дифференциалом dy будет та часть приращения ординаты, именно NR, к-рая соответствует замене кривой ее касательной.
Т. к. дифференциал dy отличается от приращения Ду на величину еДх, т. е. бесконечно-малую (см.) высшего порядка, то ясно, что при достаточно малом Дх дифференциал dy дает хорошее приближение к точО X ной величине полного придх ращения Ду.
Иногда дифференциал определяется просто как произведение из производной f' (х) на любое число, из соображений симметрии и удобства обозначаемое через dx, т. е. он рассматривается как функция двух независимых переменных: х и dx, из к-рых вторая входит лишь в первой степени (см. Дифференциальное исчисление). От слова дифференциал происходит и название дифференциальное исчисление, по точному смыслу слова означающее установление ряда правил, по к-рым производятся действия над дифференциалами. Такой алгорифм дифференциального исчисления, устанавливающий основные правила операций с дифференциалами, и был впервые опубликован Лейбницем.
Созданный Ньютоном метод флюксий по существу равносилен лейбницевскому дифференциальному исчислению, но Ньютон не дает таблицы формул, выражающих основные законы операций над флюксиями и моментами, соответствующими в его методе лейбницевским дифференциалам.
Однако действительный смысл слова Д. Лейбницу еще не был ясен. Сам он колебался повидимому между различными точками зрения, из к-рых специфической для школы его последователей (бр. Бернулли, Лопиталь и др.), не только разработавших дальше исчисление Лейбница, но и распространивших его среди математиков (И. Бернулли и Лопиталем был написан первый учебник дифференциального исчисления), была точка зрения на Д. как на бескон ечно-м алые разност и — величины особого рода, существующие наряду с конечными величинами и сами различающиеся по порядкам малости. Прибавление к конечной величине бесконечно-малой не изменяет этой конечной величины, т. е. при сложении с конечной величиной бесконечно-малая ведет себя как нуль. Но при умножении конечной величины на бесконечно-малущ нек-рого порядка получается не нуль, а бесконечно-малая того же порядка.
Трудности, связанные с понятием Д. как бесконечно-малой разности, побудили Лагранжа к попытке заменить дифференциальное исчисление, опирающееся на понятие Д., исчислением первообразных и производных функций. Введенное Лагранжем понятие производной функции вскоре стало основным в анализе, хотя данное самим Лагранжем определение производной, как и вся его попытка заменить дифференциальное исчисление исчислением функций, показалось неудовлетворительным. После Лагранжа понятие Д. снова приобрело права гражданства в анализе, но уже не как первоначальное, а как производное от производной (см.) и определяемое формулой: dy = /' (а?) • dx.
Приведенные выше современные определения дифференциала математически вполне строги иправильны, но отличаются искусственностью и формализмом. Переход от производной к дифференциалу не прослеживается в его необходимости, а мотивируется лишь соображениями удобства и выгодности рассматривать dx и dy не как части символа бессмысленные сами по себе, а как отдельные настоящие количества. Сущность этого перехода т. о. остается невыясненной, а самое понятие дифференциала представляется настолько трудным, что и в наст, время встречаются еще попытки построить курс анализа без понятия о Д.
Дело в том, что понятие Д., в отличие от понятий элементарной математики, движущихся по крайней мере в общем и целом в границах формальной логики, является понятием диалектическим, порожденным «применением диалектики к математическим отношениям». Это подчеркивает Энгельс в «Анти-Дюринге» и говорит, что Лейбниц и его ученики зря потратили труд, доказывая тогдашним математикам-метафизикам теоремы исчисления бесконечно-малых. Эту же мысль Энгельс развивает и в «Диалектике природы»: «Поворотным пунктом в математике была Декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и диалектикай благодаря этому же стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление»(Маркс и Энгельс, Сочинения, т. XIV, стр. 426—27).
«Здесь неизменные категории исчезли, математика вступила на такую почву, где даже столь простые понятия, как,, абстрактное количество“, „дурная бесконечность14, приняли совершенно диалектический вид и заставили математику, против ее воли и без ее ведома, стать диалектической. Нет ничего комичнее, чем жалкие уловки, увертки и фикции, к которым прибегает математика, чтобы разрешить это противоречие, примирить между собою низшую и высшую математику; разъяснить им, что то, что является их бесспорным результатом, не представляет собой чистой бессмыслицы, и чтобы вообще рационально объяснить исходный пункт, метод и конечные результаты математики бесконечного» (там же, стр. 392).
Сущность и диалектика перехода к дифференциальному исчислению вскрыты К., Марксом в его математических рукописях. При этом нужно иметь в виду, что с чисто математической стороны работы Маркса ограничены характером бывших в его распоряжении источников, почему и не могут быть механически использованы в применении к современной математике. Они ценны именновыяснением сущности и диалектики. перехода от элементарной математики к анализу (см.), а внутри последнего от простой задачи нахождения производной к дифференциальному исчислению. Разбирая все существовавшие да тех пор методы обоснования дифференциального исчисления, Маркс подразделяет их на две группы: исходным пунктом одних является Д., к-рый рассматривается как заранее данный, готовый символ, реальное математическое содержание к-рого лишь должно быть отыскано; исходным пунктом вторых служат не дифференциальные символы, а реальные математические величины и действия.
Ньютон и Лейбниц принадлежат к первой группе, Лагранж и многие последующие математики — ко второй. Однако, правильно начав
