ДИНАМИКАслучай несвободных материальных точек. Он заключается в следующем: «Система материальных точек движется так, что силы инерции — miWi и действующие силы находятся в равновесии в смысле принципа возможных перемещений, установленного выше». При этом по аналогии с равенством (36) и соотношением А4=0 должно удовлетворяться равенство: + (fw — кД ёУ1 + ---
(fl* -
+
=
(37)
Уравнения движения Лагранжа. Возьмем систему с I степенями свободы и обозначим ее обобщенные координаты g2,..., g&. Потенциал сил V выразим как функцию обобщенных координат Производную называют ком — понентой силы по координате q^ qi — называется обобщенной компонентой скорости.
Кинетическая энергия системы L представляет собой квадратичную форму от q.
Для движения системы Лагранж получает I дифференциальных уравнений
Эти уравнения носят название уравнений движения Лагранжа. Они являются обобщением Ньютоновых ур-ий на случай произвольных координат и систем со связями. В этих ур-иях вместо изменения во времени количества движения мы имеем изменение во времени величин = (39), к-рые называются поэтому dqi обобщенными компонентами импульса. Действительно, если q^ есть одна из прямоугольных Декартовых координат, то соответствующая часть L равна ™ и согласно равенству (39) соответствующая компонента импульса Pi = mq'i, т. е. равна обычной компоненте импульса, определяемой равенством (25). Если же напр. qt и q2 суть плоские полярные координаты, обозначаемые обычно через г и <р, то соответствующая часть L равна
и компонента импульса р2, соответствующая полярному углу д2, равна частной производной от L по q2, т. е. равна mqf q2. Это и есть вращательный импульс в указанном смысле (ст. 438).
Равновесие и движение твердого тела. Большое количество материальных точек, лежащих вплотную друг около друга и ограниченных твердыми связями, дает нам образ твердого тела в Ньютоновой Д. Достаточно определить положение трех из этих точек, чтобы этим было вполне определено положение всех: остальных, т. к. очевидно такое тело уже вообще не в состоянии двигаться, коль скоро закреплены неподвижно три его точки. Положение трех неизменно связанных друг с другом точек определяется шестью числами. Хотя три точки имеют девять прямоугольных Декартовых координат, но вследствие твердости связей три расстояния между точками, т. е. три функции от этих девяти координат, являются заданными. Поэтому твердое тело имеет не девять, а только шесть степеней свободы. Если всем точкам дать параллельные и равные перемещения, то такого рода перемещение заведо 446
мо является совместимым с твердыми связями между его точками, т. е. является виртуальным перемещением. Его называют «перенесением», или поступательным движением. Точно так же виртуальным перемещением является поворот тела вокруг некоторой оси, т. е. т. н. «вращение» (ротация). Можно показать, что каждое бесконечно-малое виртуальное перемещение слагается из шести частных перемещений, именно из трех перенесений по трем взаимно перпендикулярным осям, напр. осям ж, у, z9 и трех вращений вокруг этих осей. Если поэтому мы хотим ответить на вопрос о том, при каких условиях уравновешивается система сил, действующих на твердое тело, то, согласно началу возможных — перемещений, нужно исследовать, каковы должны быть силы, чтобы работа их на каждом из названных специальных возможных перемещений была равна нулю.
При этом работа окажется равной нулю и для всякого вообще возможного перемещения. Работа при перенесении тела дх в направлении оси х равна очевидно + f2x + ... + f„) 6«; такой же вид имеет и выражение работы для перенесения по направлениям у и z. Поэтому необходимым условием равновесия является соотношение: /1Z 4“ fzx~\~ ••• 4“ fiy + fzy-V + fny = Q> (40) f lz + f2z + ••• + fnz =0
или в векторной форме А 4 — Д + ... + 7W = 0.
(41) Так. обр. векторная сумма всех действующих сиЛ, вычйсленная независимо от. точек их приложения, должна обращаться в нуль, совершенно так же, как если бы мы исследовали условия равновесия центра тяжести в системе свободных материальных точек (ст. 440). Если мы введем вращение вокруг оси z9 определяемое бесконечно-малым углом поворота д(р, то работа при таком вращении равна (d13+ d2z 4- ... 44 — АД д(р, где ^ являются компонентами моментов вращения сил относительно оси z.
Написав соответствующие равенства и для других осей, получим условия равновесия (в векторной форме): 4“ ^2 4~ • • • 4~ &п = 0.
(42) Для того чтобы имело место равновесие, должна Т; о. обращаться в нуль не только векторная сумма самих сил, но и векторная сумма моментов вращения. Шесть условий равновесия (41), (42) соответствуют шести степеням свободы тела.
Они являются и достаточными для равновесия, т. к. всякое виртуальное перемещение слагается из трех перенесений и трех вращений: Для того чтобы перейти от условий равновесия (41), (42) к законам движения твердого тела, нужно только применить принцип Д’Аламбера.
Нужно в равенствах (41) и (42) прибавить к действующим силам силы инерции — Уравнения движения твердого тела имеют т. о. в координатной форме вид: лпл d2X1
d2x2
d2xn
я1Ж+"2к+- + т»К = fix 4~ fzx 4" ••• 4“ fnxf • • •
+
S? — dix 4 — d^
(43)
(44) 4 — dnx\ • • •
