ДИНАМИКАТеорема о центре тяжести также принимает для систем этого рода более простую форму dt2
di*
dt*
U’
т. e. центр тяжести движется прямолинейно и равномерно. • Закон
сохранения
энергии и потенциал.
Если есть скорость массы mz, то под живой силой системы разумеем сумму
Ь= +
+ (29) Из уравнений движения (22) совершенно так зке, как на ст. 435, находим йЛ — dA = flxdx1 + fiydyi + 4~ 4" ••• 4" fn%d%n 4" fny<tyn + tnz^^n' (30) Здесь dA есть работа, совершаемая всеми силами при бесконечно малом передвижении всех масс системы. Равенство (30) снова принимает более простой вид, если силы имеют потенциал. Под потенциалом V разумеют функцию от координат всех п материальных точек, к-рая обладает тем свойством, что частные производные от нее по координатам, взятые с обратным знаком, дают соответствующие компоненты силы, т. е. .
av /__ •133
dxL ’
'2х
f
дх-г
dy2 •••
' dyt ’
(31)
Тогда аналогично равенству (12) и (30) следует: L+ V= Const.
(32) Это и есть закон сохранения общей энергии: Е = L + V. Если мы имеем дело с центральными •силами, то функция V зависит только от взаимных расстояний точек системы.
Закон сохранения площадей и вращательный импульс. Для системы материальных точек,
'так же как и для одной точки (ст. 438), можно установить закон сохранения площадей. Будем изображать вращательный импульс каждой точки, равный произведению ее массы на секториальную скорость, некоторым вектором Et= а момент вращения силы /’^действующей на г-ю материальную точку, будем изображать вектором dit Суммируя эти векторы по обычным законам векторного сложения, мы получаем общий вращательный импульс и результирующий момент вращения системы: 4~ /*2 4“... 4~ Л, d = di 4~ d2 — J- ... 4 — dn.
Из ур-ий движения (22) совершенно так же, как для отдельной материальной точки, вытекает закон площадей: Tt = a<34> Если рассматриваемая система является замкнутой и все действующие в ней силы удовлетворяют закону равенства действия и противодействия, то сумма всех моментов вращения, действующих на точки системы, должна обращаться в нуль, и из (34) следует: I = Const.
(35) Это означает, что вращательный импульс всех — точек такой системы остается в течение всего движения постоянным. Предложение это носит название «закона сох р а нения вращательного импульса». Если например в такой системе часть масс начинает новое вращение вокруг одного центра в некото 442
ром определенном направлении, то другая часть должна начать вращаться в противоположном направлении.
IV. Динамика системы материальных точек, между которыми существуют твердые связи.
Силы и связи. Выше мы изучали движение свободных материальных точек. В большинстве случаев, имеющих практическое значение, материальная точка посредством различных механических приспособлений (стержни, шарниры) принуждена оставаться в определенном положении и двигаться по траектории, определяемой наложенными на нее связями.
Движение вагона по рельсам не может происходить в любом направлении, а ограничено формой рельсового пути. Материальная точка может быть напр. вынуждена всегда оставаться на определенной поверхности, ур-ие к-рой задано. Важнейшим видом такого рода ограничений являются «твердые связи», заключающиеся в том, что расстояние каждых двух точек во все время движения не должно меняться. Если напр. точки, между к-рыми существует твердая связь, лежат на одной прямой очень близко друг к другу, то они образуют «твердый стержень». Твердые связи Д. являются идеализацией реальных тел (см. выше), к-рые конечно не абсолютно недеформируемы, но деформация которых, вызываемая даже очень большими силами, исчезающе мала по сравнению с движением всего тела как целого. В Д. действие связей, принуждающих точки оставаться и двигаться в определенных направлениях, часто заменяется феноменологическим рассмотрением сил, действие которых эквивалентно действию связей. Математически ограничения движения заключаются в том, что координаты точек системы постоянно должны удовлетворять нек-рым определенным наперед заданным уравнениям.
Степени свободы и обобщенные координаты.
Если механическая система состоит из п материальных точек, которые могут свободно двигаться, то говорят, что «число степеней свободы ее движения» (или коротко: «число ее степеней свободы») равно Зп, т. к. для определения ее положения необходимы Зп чисел, именно прямоугольные координаты ее п точек. Так. ббр. одна точка, свободно движущаяся в пространстве, имеет три степени свободы; если она может свободно двигаться только в одной определенной плоскости, то ее положение определяется двумя координатами, и она имеет две степени свободы. Этот переход от движения в пространстве к движению в плоскости можно рассматривать как введение нек-рого ограничения движения (нек-рой связи). Действительно, уравнение плоскости есть ур-ие между координатами свободно движущейся в пространстве точки. Благодаря тому, что координаты должны удовлетворять этому ур-ию, число степеней свободы понижается на единицу. Вообще, если между Зп координатами свободно движущихся в пространстве точек существует г ур-ий, к-рыми ограничивается свобода движений, то возникает система с числом степеней свободы I = Зп — г. Ибо если I координат из общего числа Зп заданы, то остальные Зп — I = г координат могут быть вычислены из заданных г ур-ий. Чтобы не выделять какйе-нибудь I координат из общего числа их Зп, можно ввести I независимых величин qu q2, ..., qi как функции, от к-рых могут быть выражены прямо-
