ГРАВИТАЦИЯгде г — расстояние элементарной массы dm от точки на — 2л
блюдения Р(х, у, z): »= — — — угловая скорость суоб. 400 точного вращенйя земли; интегрирование распространяется при этом на все массы, образующие землю. Введем систему прямоугольных прямолинейных координат, Гцеизменно связанных с землею; начало координат О совместим с центром тяжести земли, ось OZ направим вдоль оси вращения земли к северу, оси ОХ и ОУ расположим в экваториальной плоскости под прямым углом друг к другу. Проекции силы тяжести дх, 9у> 9z на координатные оси в точке воздействия Р(х, у, z) можно представить как частные производные от функции W(x, у, z) соответственно по координатам х, у, z: dW OW _ dW (Ю) Ty’9l~~Sz и вообще проекция д на любое направление
dW (И).
9s ~ ds Полагая W (х, у, z) — С, где С есть постоянный параметр, получим уравнение семейства так наз. изопотенциальных, или уровенных поверхностей, обладающих тем свойством, что на каждой из них потенциал силы тяжести имеет одно и то же численное значение, равное С; что же касается самой силы тяжести, то она не остается постоянной на поверхности уровня, оставаясь однако всегда направленной по внутренней нормали п к поверхности, причем ее численное значение равно: aw dW dW 5P = ^cos (n. x) + dW -^cos (п. у)+~ cos (n-z) (12),
dn
dx
oz
dy
как это следует из (10) . Та из уровенных поверхностей силы тяжести, к-рая совпадает с поверхностью океанов, носит особое название «геоид» и определяет собою математическую фигуру земли. Поверхность геоида сравнительно мало отличается от поверхности сплюснутого эллипсоида вращения, размеры и форма к-рого определяются его экваториальной полуосью а = 6.378.388±53 м и сжатием е=(а-с) : а = 1 : 296, 8, где с — полярная полуось. Из других свойств потенциальной функции отметим, что для точек пространства вне притягивающих масс эта функция, удовлетворяет уравнению Лапласа:
d*V
d*V
d*V _
(13). с*ха dy% dz2 “ Общее выражение для распределения силы тяжести на поверхности нормального земного эллипсоида может быть найдено теоретическим путем, причем для этой цели не требуется вовсе данных о распределении масс внутри земли. Поставленная задача является частным случаем т. н. внешней задачи Дирихле: найти гармоническую функцию V вне данной замкнутой поверхности S, к-рая для всех точек пространства вне поверхности удовлетворяла бы уравнению Лапласа и на самой поверхности обращалась бы в заданную функцию координат /(х, у, z); в нашем 0) 2 случае /(х, у, z) = W0 — — (х2 + у 2) . в математической физике доказывается, что задача Дирихле имеет определенное и притом единственное решение. Имея 0) 2 т. о. выражение для W = V + — (х2 + у2), можно со — dW ставить выражение у =
2 для нормального распре деления силы тяжести на уровне моря. Приняв обозначения т-=аа>2: у0 — отношение центробежной силы к силе тяжести на экваторе и е = (а-с):а — сжатие земного эллипсоида, и пренебрегая членами порядка малости е3 и выше, как выходящими из пределов точности современных наблюдений, будем иметь: У = Уо{1+^ш — е- ^mejsin2?»--|(5m-e) sin22?’} (14), где <р — географическая широта точки наблюдения.
Отбрасывая члены, содержащие множителями те и е’, получим приближенное выражение: у = уо |1+ e) sin2p} (15).
Применяя эту формулу к точкам экватора (ф=0) и к полюсу (ф=90°), получим: (16).
2 Уо Это выражение наз. формулой К л ер о и дает возможность вычислить сжатие земли на основании гравиметрических наблюдений.
Коэффициенты формулы (14) могут быть вычислены на основании наблюденных значений силы тяжести в различных точках земной поверхности; для этого Гельмертом, Берротом и др. предложены эмпириче 608
ские формулы. С другой стороны Стоксом установлена формула, учитывающая уклонение геоида от эллипсоида вращения.
VI. Экспериментальное определение д производится Дри помощи наблюдении над периодом колебания физического маятника (см.), к-рый определяется формулой
7’=’i/'|{1+G) 2 — sin4+ + (H)‘8in4+"} где Т — период колебания; а — амплитуда его; д — ускорение силы тяжести; I — приведенная длина маятника (К — момент инерции его вокруг оси вращения, М — масса маятника и г0 — расстояние центра тяжести от оси вращения). Для бесконечно-малых амплитуд (18).
Т=
Т. о., зная приведенную длину маятника I и определив из наблюдения период колебания Т, можно вычислить значение д в данной точке земной поверхности. ’ Однако определение I с требуемой степенью точности представляет весьма существенные затруднения, и потому абсолютные определения силы тяжести, дающие непосредственно значение д по формуле (18), произведены лишь в немногих пунктах; наиболее точное абсолютное определение д, длившееся в течение 7 лет, выполнено для Потсдама (близ Берлина), к-рый и является основным международным гравиметрическим пунктом.
Опорные гравиметрические пункты для СССР, в к-рых д определено с особой тщательностью, даны в след, таблице с указанием широты ср, долготы Л от Гринича и высоты над уровнем моря (27) в метрах.
Список
опорных гравиметрических пунктов СССР.
Название пункта
Пулково..........................
Казань..........................
Москва..........................
Омск.................................
Иркутск..........................
Владивосток...............
Тифлис ..........................
Ташкент..........................
Ф
59°46, 3' 55°47, 4' 55°45, 3' 54°59, 1' 52°16 5' 43° 6, 9' 41°43, Г 41в19, 5'
Л
Н
д
30°19, 7' 40° 7, 3' 37°34, 3' 78°22 0' 104°16, 5' 131°53, 5' 44°47, 7' 69°17, 7'
71 76 143 79 462 23 401 479
981, 899 981, 560 981, 561 981, 476 981, 096 980 486 980, 178 980, 080
Метод относительного определения д сводится к сравнению периода колебания Т одного и того же неизменяемого маятника в двух точках земной поверхности, для одной из которых известно абсолютное значение силы тяжести д. На основании формулы (18), Уа-а^Уо уг • На рис. 3 изображен маятниковый аппарат Штюкрата-Штернека, применяемый для относительных определений д. На солидном литом штативе подвешены четыре маятника, которые могут колебаться попарно во взаимноперпендикулярных плоско-
