ГРАФИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯний и что рассматриваемая функция следовательно линейная (у=ах-}-Ъ) 9 то возникает вопрос о таком выборе значений коэффициентов а и Ъ, при котором функция у=ах-\-Ъ
«наилучшим» образом представляла бы наблюденный ряд значений. Способ наименьших квадратов представляет метод определения таких значений а и Ъ, при которых сумма квадратов разностей между наблюденными и вычисленными значениями у достигает своего минимума. Однако во многих случаях достаточно точные результаты получаются гораздо проще, простым проведением (на-глаз) прямой линии, около к-рой все точки графика располагались бы по возможности симметрично (удобнее всего применить тонкую нить). Найдя такую «наилучшую» прямую, замечаем координаты двух по возможности более удаленных друг от друга ее точек и без труда находим а и Ь.
См. численный пример на ст. 125.
Графическое решение уравнений. В этом направлении разработаны методы решения системы линейных уравнений и алгебраических уравнений высших степеней.
Из последних отметим здесь способ Лилля (Lili); он основан на графическом «изображении» функции вида у=а0 х’+ах x*+at х+а8 (для простоты берем полином 3-й степени); на миллиметровой бумаге откладываем последовательно численные значения коэффициентов а0, alf а8, а8; для этого, исходя из произвольной точки О, откладываем 00х=а0 наверх; от полученной точки откладываем ОхОл=а1 направо; затем О8О8=а8 вниз и 080<=а8 налево; если бы имелись коэффициенты а4, ав,... и т. д., то для них повторилась бы указанная последовательность направлений; отрицательный коэффициент откладывается в направлении, обратном только-что установленным (напр. отрицательное at вверх и т. д.); т. о. на рис. 4 «изображена» функция: у = 1, 7х8 — Ь2, 4х’4—3, 1х — 0, 9.
Чтобы найти значение этой функции для данного х, откладываем от Ох влево (при х>0) OiX =х, соединяем X с N, взяв OX2V = 1, через О проводим параллель к XN, что дает точку Рх, на О1Ол;отРх ведем перпендикуляр к OPt до Р8; затем перпендикуляр к нему Р8Р8. Тогда легко показать, что О4Р8 дает значение у при заданном х (если Р8 лежит вправо от О4, то у>0). На рис. 4 знач. х=0, 35; у= 0, 57. Очевидно, что если Р8 упадет в О4, то для взятого х значение у = 0, т. е. будет найден корень уравнения. Практически все сводится к тому, чтобы быстрым подбором х свести О4Р8 к нулю; о технике этой работы см. книгу Мадера (список литературы, 9). Особенно изящен способ Лилля для квадратного уравнения вида х’+ахх+а8 = О (рисунок 5); проведя «изображающий» ход 001 = 1, OxO8=ax, O8O8=a8, строим окружность на ОО8, как на диаметре, и отмечаем точки ее пересечения с ОХО8; тогда хх=ОхРх и х8=ОхР8 будут корни Данного уравнения (положительные от Ох налево, отрицательные направо). На рис. 5 показано решение уравнения х8 +1, 3х — 3, 0=0; хх=И, 2; ха=-2, 5. — Графическое решение с пользой применяется также и для нахождения приближенного значения корней трансцендентных уравнений; наприм. корень уравнения
X
е~х + - - 1 = 0 найдется в пересечении кривой у = егх е прямой у = - ~ + 1(х = 4, 965).850
К графическому решению уравнений непосредственно примыкают способы решения их посредством номограмм, т. е. чертежей, допускающих быстрое определение значений функций по заданным значениям аргументов без каких бы то ни было дополнительных построений, путем простого отсчета (см. Номография).
Графическое дифференцирование. Если функция (одного аргумента) задана графически, т. е. кривой линией, отнесенной например к двум взаимно перпендикулярным осям и аналитическое ее выражение неизвестно, то разыскание ее производной по известным правилам дифференциального исчисления невозможно, и надо прибегнуть к графическому дифференцированию, сводящемуся к графическому решению некоторых задач на касательные. Здесь все основано на известной теореме о том, что тангенс угла между положительным направлением оси абсцисс и касательной, проведенной к кривой у=1(х) в некоторой ее точке, равен значению производной f\x) в той же точке.
На практике чаще всего приходится иметь дело со следующими тремя задачами: а) провести касательную к кривой в данной ее точке; б) провести к кривой касательную, имеющую данное направление; в) к кривой y=f(x) построить дифференциальную кривую, т. е. кривую, ординаты которой были бы пропорциональны соответствующ. значениям производной. — О различных способах решения этих задач и о нек-рых других задачах, с ними связанных, можно найти указания в книгах Мадера и Мемке (список литературы, 9 и 14). Необходимо иметь в виду, что все эти способы дают весьма неточные результаты, причина чего лежит в существе дела: самые незна/--------------------- у чительн. погреши о- * / сти в определении / / положения двух то/ / чек кривой обусло- / tn /
вливают большие / ______ / погрешности в оприс. 6. ределении положения секущей, их соединяющей, притом тем более значительные, чем ближе друг к другу эти точки.
Некоторые простейшие из этих способов таковы: а) провести касательную к данной кривой в данной ее точке можно простым прикладыванием линейки и вращением ее около данной точки до тех пор, пока другая точка пересечения не совместится с данной.
Однако способ этот весьма неточен. Значительно лучшие результаты дает применение зеркальной линейки/ к-рой может служить просто ровно обрезанный кусок зеркала. Зеркало это помещают перпендикулярно к плоскости чертежа и приблизительно перпендикулярно к направлению искомой касательной и вращают его около вертикальной оси, проходящей через данную точку кривой, до тех пор пока незакрытая зеркалом часть кривой и зеркальное ее отражение не будут представляться в виде одной кривой с плавно меняющимся направлением, т. е. пока не исчезнет излом (угловая точка) в стыке кривой и ее отражения. В этот момент край зеркала будет довольно близок к параллельности с нормалью. Отметив чертой его положение, проводим касательную как перпендикуляр к этой черте, проходящий через данную точку. На рис. 6 показана такая зеркальная линейка (в виде трехгранной призмы), дающая направление нормали для точки а на кривой. б) Дана некоторая прямая и требуется провести касательную к данной кривой, параллельную этой прямой. Эта задача допускает несколько более точное решение, чем предыдущая, если воспользоваться следующим способом. Наметив (на-глаз) ту часть
