Страница:БСЭ-1 Том 17. Гимназия - Горовицы (1930).pdf/52

Эта страница не была вычитана

В теории волчка возникают следующие две основные задачи: 1) волчок совершает определенное, заранее предписанное движение, — выразить в функции времени его момент вращения: эта задача полностью разрешается для всех случаев; 2) известен в функции времени момент вращения, к-рым обладает волчок, — определить его движение; эта задача представляет значительно большие трудности и в общей форме до сих пор не разрешена; полное ее решение дано только для отдельных частных случаев. а) Свободный волчок совершает так называемое движение Пуансо.

Чтобы описать это движение, нужно иметь в виду соотношение, лежащее в основе теории волчка: nr de м dt ’ где М — момент внешн. действующих сил, а О — главный (результирующий) момент количества движения (см.) тела. Т. к. для свободного волчка ЛГ=0 (момент с. тяж. относительно точки опоры обращается в нуль), do Л то ^- = 0, главный момент количества движения остается во все время движения постоянным по величине и направлению. Поэтому движение относительно центра тяжести и движение самого центра тяжести оказываются совершенно независимыми друг от друга.

Мы можем совершенно отвлечься от движения центра тяжести (предполагать его покоюшимся) и изучать только движение волчка относительно его центра тяжести (точки опоры). Это движение представляет собой в каждый момент вращение (см.) вокруг некоторой мгновенной оси, характеризуемое вектором со.

Направление этого вектора совпадает с направлением оси вращения, а величина его характеризует скорость вращения. Кинетическая энергия вращения тела Т сообщается ему начальным толчком и остается поdT do п стояннои во все время движения, т. к.

= со • — =0.

Представим себе, что в теле закреплена неподвижно некоторая ось, проходящая через центр тяжести, и затем ему сообщен вращательный импульс с энергией Т (ось которого, вообще говоря, не совпадает с закрепленной нами осью). В зависимости от того, какую ось мы закрепили, вращение, которое получит при этом тело, будет иметь различную скорость. Вектор со, характеризующий это вращение, представит собой меру инерции тела относительно данной оси. Чем меньше эта инерция, тем быстрее будет вращаться тело относительно соответствующей оси под влиянием одного и того же толчка с энергией Т. Если представить себе теперь отложенным i из точки опоры векторы со и  — со, соответствующие всем возможным положениям оси, то концы этих векторов будут лежать на так назыв. поверхности Пуансо, играющей очень важную роль в динамике твердого тела. Можно показать, что длина каждого радиусвектора этой поверхности _ 2Г D ’ где D =ZAm •г* — момент инерции (см.) тела относительно данной оси (г — расстояние точки с массой А т от этой оси). Можно показать, что эта поверхность представляет собой эллипсоид, коаксиальный с эллипсоидом инерции и определяемый главными полуосями __ __ где А, В, С — главные моменты инерции тела. Движение Пуансо, которое совершает свободный волчок, заключается в том, что неподвижный относительно тела эллипсоид Пуансо (соответствующий кинетической энергии волчка Т) катится без скольжения по так называем. неизменяемой плоскости (см.), перпендикулярной к вектору О и пересекающей его ось на расстоянии « = — V, а вектор мгновенной скорости вращения а> проходит постоянно через точку касания этих поверхностей (см. рис. 1). В частности, это движение может свестись и к вращению вокруг постоянной оси.

Для этого необходимо и достаточно, чтобы ось первоначального вращательного толчка совпадала с одной из главных осей инерции. Эти три оси инерции являются, т. о., единственными постоянными осями вращения волчка, их называют также свободными осями, потому что волчок может свободно вращатьсявокруг них, без того чтобы нужно было искусственно удерживать эту ось вращения. Вращение относительно наибольшей и наименьшей оси инерции является устойчивым, вращение относительно средней оси  — неустойчивым.

Эллипсоид

Пуиксо В случае симметричного свободного волчка вся описанНеизмен. ная картина значиплоскость тельно упрощается.

Движение сводится 0 к равномерному враРис. 1. щению вокруг оси симметрии, которая сама равномерно онисывает круглую коническую поверхность вокруг оси главного момента количества движения (см. рисунок 2). Это движение оси носит название точной прецессии, описываемый ею конус называется прецессионным, скорость движения оси — скоростью прецессии. Наглядно можно себе представить это движение, как качание (без скольжения) подвижного конуса (конуса полодии, см.) по неподвижному конусу (конусу герполодии). Общая образующая обоих конусов в каждый момент дает направление мгновенной оси вращения со, ось конуса полодии есть ось симметрии волчка, а ось конуса герполодии — ось главного момента количества движения 0.

Вращение вокруг оси симметрии и прецессионное вращение происходят всегда в одном и том же направлении, если эллипсоид инерции вытянутый (ось симметрии — наибольшая), и в противоположном, если он приплюснут (ось симметрии — наименьшая). В последнем случае ось симметрии образует с осью прецессии тупой угол, и конусы полодии, герполодии и прецессии располагаются, как показано на рис. 3.

Главные оси инерции являются и здесь свободными осями, т. е. если телу сообщено вращение около одной из этих осей, то оно Кон. прецесУь может происходить неограниченно долго (конус прецессии сжимается в прямую линию). Но движение относительно какойлибо из экваториальКон. ных осей неустойчиво, полодии и малейший толчок превращает вращательное движение в прецессионное. Вращение же относительно оси симметрии обладает очень большой устойчивостью. Если внешние силы стреРис. 3. мятся повернуть ось вращения такого волчка, то в качестве реакции развиваются весьма значительные так называем, гироскопические силы, стремящиеся удержать ось волчка неизмененной. Если она все же меняет свое направление, то это происходит так, что ось стремится стать параллельной новой

to