каждой из к-рых нет вихрей. Т. к., однако, на границах между этими областями имеет место скольжение слоев жидкости параллельно границе, то там элементы объема жидкости приходят во вращение. Такое предположение делается во многих теориях, изучающих равномерное движение твердых тел в жидкости. Принимают, что в пространстве за телом жидкость остается в покое; эту область называют мертвой водой. Во всех же остальных частях движение жидкости происходит без вихрей. Между областью движущейся и мертвой воды существует, т. о., граница, вдоль к-рой частицы жидкости приходят во вращение. Здесь образуются вихри.
4. В жидкости находятся определенные вихри. Это предположение делается в более точной теории аэроплана, где учитывается образование вихрей у заднего ребра несущих поверхностей.
Случай, когда движение происходит без вихрей, важен в том отношении, что здесь можно свести расчет течения жидкости к очень глубоко разработанной математической теории потенциала. Для потенциала скоростей ср, который входит в уравнение течения (4), получаем, подставляя равенство (4) в равенство (2а), следующее уравнение в частных производных: + = 0U (10) Ох2^ дул ' dz* Условия на границах, в силу к-рых скорость у границ должна быть параллельна им, т. е. слагающая скорости, перпендикулярная стенке, должна обращаться в нуль, можно с помощью равенства (4) формулировать следующим образом: производная функции <Рв направлении, нормальном к стенке, должна обращаться в нуль вдоль всех границ.
Таким обр., задача сводится к разысканию функции, удовлетворяющей этому условию на границах и дифференциальному уравнению (10). Именно такая задача и изучается теорией потенциала.
VI. Движение вязкой жидкости. Если при движении жидкости давление не остается направленным по нормали к поверхности элемента, на который оно действует, как это имеет место в гидростатическом состоянии, то жидкость называют вязкой. Т. к. в этом случае между двумя слоями жидкости, движущимися параллельно поверхности их раздела, действует некоторая сила в направлении этого движения (сила трения), то говорят в этом случае о внутреннем трении, или вязкости (см.) жидкости. Давление в этом случае уже не изотропно, а имеет в одном и том же месте жидкости различные значения для различно ориентированных поверхностей; поэтому уже нельзя, как в случае идеальной жидкости, говорить просто о давлении в данном месте жидкости. Все эти значения давления в данном месте жидкости можно выразить через шесть значений — компонент давлений на три взаимно перпендикулярных элементарных площадки. В качестве таковых удобнее всего взять три координатных плоскости. Если, например, через рху обозначить компоненту по оси у давления, действующего на площадку, перпендикулярную к оси ж, то можно показать, что если вообще равновесие в жидко 7 34
сти ВОЗМОЖНО, ТО PXy = PyX, PyZ = Pzy, Pzx=Pxz.
Поэтому все давления, действующие на различные площадки в данном месте жидкости, могут быть выражены через величины рхх, Руу^ Pzz’ Рхуч Pyz> Vzx — Т. о., давление выражается не скаляром, а тензором (см. Тензорное исчисление). При составлении уравнений движения нужно при этом иметь в виду, что не только те давления, которые действуют на площадки, перпендикулярные к ускорению, имеют влияние на величину этого ускорения.
Здесь, в отличие оттого, что имело место согласно рис. 5 и равенствам (5) и (6) для идеальной жидкости, нужно принимать в расчет и разность давлений, действующих на противоположные грани кубика, параллельные ускорению.
Вместо уравнения движения (6), мы получаем уравнения:
d^x _ _ ®Рхх _ дРух _ ®Pzx _ ®У ' dt дх ду dz Q дх
d^==__dPxu_dpyy_dp_z1L_ dV dt
дх
о dvz_ dt
дРхз дх
ду
дрУ* ду
dz Q ду
I
к
Ь
dpzz 9V ду 6 dz,
Этим вводятся вместо одного гидростатического давления р шесть величин, характеризующих давление (компоненты тензора). Число их можно уменьшить, если сделать определенные предположения о зависимости сил внутреннего трения от скорости. Простейшее из таких предположений заключается в том, что между двумя слоями жидкости, перемещающимися параллельно поверхности их раздела, действует сила трения, направленная параллельно относительной скорости движения слоев и по величине пропорциональная этой относительной скорости, т. е. разности скоростей обоих слоев. Множитель пропорциональности в этой зависимости характеризует вязкость соответствующей жидкости и называется коэффициентом вязкости.
Чтобы формулировать эту зависимость математически, положим, что слои перпендикулярны к оси у и движутся по направлению оси х. Тогда дело сводится к изменению компоненты vx вдоль оси у. Эта сила трения, которая в прежних обозначениях представляет собой компоненту давления руХ) может быть представлена в виде: dvr
<12) — Для случая произвольного движения несжимаемой жидкости эта связь может быть выражена соотношениями: (dvx, dvy\ Л dvx \ /dvy dvz\ п dvy py*-pzy- ~*\-dz+~d^); vyy-v-^ dy/dv3 dvx\ Ргз>-Рхг--р[-д^ + -^);
dvz
Pzi-P-^P-q^-
J
> (13).
Если подставить эти соотношения в уравнения движения вязкой жидкости (11), то вместо шести компонент давления рхх,..., рхз [согл. равенству (2а)] в формулу войдет только комбинация их р = Уз (Pxx+Pyy+Pzz) n равенства примут вид:
е — gradp — egradV — jurot rott,
(14),
отличающийся от уравнения движения идеальной жидкости только «членом вязкости» ft rot rot v, который тем меньше, чем меньше вязкость у. и чем меньше величина вихря rot v в жидкости. Кроме того, вместо гидростатического давленияр, здесь мы имеем дело с арифметической средней величин рхх, руу, pzz.
