ГИДРОМЕХАНИКАвозможно движение жидкости безвихренное, но с циркуляцией, не обращающейся в нуль. Из векторного исчисления далее известно, что из соотношения rot v== = 0 вытекает, что вектор v является градиентом некоторой скалярной функции <р, т. е. (в координатной форме), что д<р д<р д<р ...
^ = grad<p (4). х
дх ду dz Т. о., скорость в этом случае, действительно, является падением, градиентом (см.) некоторой скалярной потенциальной функции <р.
V. Законы движения идеальной жидкости.
Если в жидкости и во время ее движения давление остается перпендикулярным к поверхности элемента объема, на к-рой оно действует, то жидкость называют, как было сказано, «идеальной», или «свободной от трения». В такой жидкости давление всегда остается изотропным и в каждой точке характеризуется одной величиной р — скаляром (см.). Чтобы вывести закон движения такой жидкости, рассмотрим элемент объема ее, имеющий вид кубика и совершающий в данный момент поступательное движение с ускорением Ъ; этот кубик предполагается ориентированным так, что одна пара V его граней перпендикулярна к \/\ направлению ускорения Ъ. Т. к.
V давления направлены перпенди\ к \ кулярно к соответствующим гра\ ням, то на величине ускорения ъ сказываются только давления х на эти перпендикулярные к Ъ грани. Если длину ребра обозначить через L, угол между наРис. 5. правлением ускорения и вертикалью через д и давления на эти грани, соответственно, через р± и р2, то, как видно из рис. 5, ньютоновское уравнение движения принимает вид: @L3b = (Pi — р2) Ь2 — gL3g cos d или: gb = - eg cos d (5).
В векторной форме, если вместо ускорения ввести производную вектора скорости v, а силу тяжести ввести как градиент ее потенциала V, уравнение принимает вид: evt= - grad р ~ е grad 7
(6) — Уравнение это остается в силе и в том случае, когда V есть потенциал какой-угодно объемной силы.
Если движение носит стационарный характер, то удобно рассматривать вектор скорости v как функцию прямоугольных координат точки. Уравнение движения принимает в этом случае вид: q (v grad) v=- grad р-q grad V (7).
Проектируя это векторное равенство на направление движения в данный момент, получим: dv dp dV qv-ds z- + -г+ e — г- =0 ds ds (ds — линейный элемент в соответствующем направлении). Интегрирование этого уравнения (при постоянном е) дает:
-2 qv* + р + qV = const.
(8).
Важнейшим следствием из уравнений является соотношение между давлением р, скоростью v и глубиной под поверхностью жидкости h, имеющее место вдоль линии тока при стационарном движении (т. н. уравнение Бернулли). Оно имеет вид: р = Ро — egh — i (9) и получается из ур-ния (8), если в качестве потенциала тяжести V подставить gh.Уравнение Бернулли (9) заменяет гидростатическое уравнение р — р0 — ggh и показывает, что гидродинамическое давление тем меньше гидростатического, чем больше скорость течения. Когда движение безвихренное, то постоянная р0 уравнения Бернулли имеет одно и то же значение для всех линий тока. Уравнение дает при этом возможность по заданному распределению скоростей вычислить распределение давлений. Важным применением его является, напр., расчет сил, действующих на аэроплан со стороны движущегося воздуха. Благодаря несимметричной форме несущих плоскостей (крыльев) аэроплана создается ток воздуха относительно них, причем под крыльями воздух движется медленнее, чем над ними. При этом возникает разность давлений, результатом которой является нек-рая сила, вертикально направленная вверх.
На твердых границах жидкости, т. е. на стенках и обтекаемых жидкостью телах, к уравнениям (5) и (6) присоединяется еще условие, требующее, чтобы скорость течения была направлена повсюду параллельно границе, т. к. жидкость не может проникнуть в твердое пограничное тело. — Легко видеть, что уравнений движения и условий на границах еще недостаточно, чтобы однозначно определить возможные стационарные движения идеальной жидкости. Если мы рассмотрим, напр., простой случай горизонтального движения жидкости с постоянной скоростью по цилиндрической трубе кругового сечения, то из уравнений движения нельзя сделать никаких выводов о том, движутся ли отдельные слои, которые можно представлять в виде цилиндрических трубок уменьшающегося сечения, с одинаковой или с различи, скоростью. Но если предположить, что движение безвихренное, то предположение о различных скоростях отпадает, так как при эдом элементы объема, лежащие на границе двух слоев, должны были бы начать вращаться. Таким образом, для того, чтобы рассчитать определенное стационарное движение, необходимо еще принять особые предположения о распределении вихрей в жидкости. Такие предположения делаются на основании теоремы о том, что в идеальной жидкости, под влиянием силы тяжести (или вообще сил, имеющих потенциал) и твердых границ, вихри не могут ни вновь образовываться, ни исчезать (см. Вихревые движения). Если, напр., вначале движение было безвихренным, то таким оно должно оставаться и дальше. При решении всякой конкретной задачи о стационарных движениях идеальных жидкостей нужно сделать определенные предположения о распределении вихрей. Важнейшие типы таких предположений таковы: 1. Течение безвихренное и без цир куля ции. Такое предположение делается, напр., при изучении образования волн (см.) на поверхности жидкости. 2. Течение происходит без вихрей, но циркуляция существу е т. Такое предположение делается, напр., в теории аэропланов, где при движении крыла вокруг него возникает циркуляция воздуха. 3. Течение распадается на ряд отдельных областей, внутри
