«Disquisitiones arithmeticae» (Арифметические исследования, 1801) были первым блестящим и крупным сочинением Гаусса. Оно содержит вопросы теории чисел и высшей алгебры, постановка и разработка которых, можно сказать, предопределила все дальнейшее развитие этих дисциплин. Г. дает здесь обстоятельную теорию квадратичных вычетов (см.), первое доказательство основной теоремы Лежандра (см. Лежандра теорема), ставит впервые задачу об арифметических формах, дает теорию этих форм, на которой основано все дальнейшее развитие этой обширной дисциплины, и кончает книгу теорией двучленных уравнений (жп=1).
Помимо общих методов решения этих уравнений, Г. установил связь между ними и построением пр авильных многоуго льников (см.).
Этим путем он впервые после греческих геометров продвинул эту задачу; в частности, решив уравнение ж17—1 = 0, он дал построение правильного 17 — угольника при помощи циркуля и линейки. Г. придавал этому открытию такое значение, что завещал выгравировать правильный 17 — угольник, вписанный в круг, на своем надгробном камне; это и было исполнено.
От этих теоретических изысканий Г. очень скоро перешел к исследованиям прикладного характера. В начале 1801 итал. астроном Пиацци (Piazzi) открыл первую из т. н. малых планет, названную Церерой. Наблюдения Цереры продолжались недолго, т. к. она приблизилась к Солнцу и скоро исчезла в его лучах. Выждав время, в течение к-рого Церера могла бы пройти через перигелий и вновь стать видимой, Пиацци и др. астрономы стали тщательно искать ее вновь, но безрезультатно. Г. разработал метод вычисления эллиптической (а не круговой, как это делали раньше) орбиты планеты по трем наблюдениям и установил ее для Цереры на основании первых наблюдений Пиацци.
На основании этих вычислений было установлено с большой точностью местонахождение планеты, и она была в указанном месте обнаружена. В связи с этим Г. углубил свои исследования по вычислению планетных орбит, и результаты их в чрезвычайно тщательной обработке опубликовал в сочинении «Theoria motus corporum coelestium» (Теория движения небесных тел, 1809); разработанные Г. методы до сих пор лежат в основе вычисления планетных орбит. В 1802 друг Г.
Ольберс открыл вторую малую планету Палладу. По расположению своей орбиты она в значительной мере подвержена влиянию возмущений, вызываемых большими планетами. Поэтому над вычислением движения Паллады усердно работали многие астрономы и целые обсерватории. Г. посвятил несколько лет исследованию возмущений Паллады; хотя он получил существенные результаты, в частности, открыл т. н. либрацию (см.), но довести эти вычисления до конца он оказался не в состоянии. — Все эти астрономические наблюдения основывались на разложении интегралов соответствующих дифференциальных уравнений в бесконечные ряды. Это заставило Г. углубиться в исследование вопроса о сходимости бесконечных рядов (см.), к-рые он связал с т. н. ги 690
пергеометрическим рядом («Ueber die hypergeometrische Reihe», 1812). Эти исследования, в связи с основанными уже на них работами Коши и Абеля, составляют основу современной теории рядов. — Астрономические работы Г. поглотили около 20 лет его жизни (приблизительно 1800—20), после чего Г. переходит к работам по геодезии.
Это было связано с полученным Г. поручением произвести геодезическую съемку Ганноверского королевства и составить детальную его карту для военных целей. В основе этой работы лежало измерение дуги меридиана, приблизительно идущего из Гёттингена в Альтону. Выполнение этого задания поглотило у Г. следующие десять лет жизни (приблизительно 1820—30). Он не только организовал практическую сторону этого сложного предприятия, но для его осуществления фактически создал науку, которая в наст, время носит название «высшей геодезии» и имеет своей задачей установление формы земной поверхности не в упрощенном, а в действительном ее виде. Основы этой дисциплины изложены им в сочинении «Untersuchungen uber Gegenstande der hoheren Geodasie» (1843); хотя оно не охватывает всего замысла, по к-рому Г. хотел это сочинение построить, оно все же и по наст, время остается основой этой науки. Самое выполнение съемки требовало усовершенствованной оптической сигнализации, для которой Г. придумал замечательный прибор — гелиотроп (см.). В тесной связи с этими практическими работами находятся два теоретических изыскания, также получившие фундаментальное значение. Для установления значения той или иной величины (длин, координат, дуг и т. п.) в астрономии и геодезии производятся многочисленные измерения в различных местах, различными инструментами, различными наблюдателями.
Результаты этих измерений имеют различную ценность, и трудность заключается в установлении наиболее вероятного значения искомой величины. Г. создал для этих вычислений т. н. «метод наименьших квадратов» («Methode der kleinsten Quadrate», 1821—1823), к-рый не только по наст, время служит основой уравнительных вычислений, но в своем построении содержит начала всей современной теории вероятностей. С другой стороны, изучение формы земной поверхности потребовало углубленного общего геометрического метода для исследования поверхностей. Выдвинутые Г. в этой области идеи получили выражение в сочинении «Общие изыскания о кривых поверхностях» («Disquisitiones generales circa superficies curvas», 1827), к-рое легло в основу современ. дифференциальной геометрии (см.). Руководящая мысль этого сочинения заключается в том, что поверхность, как гибкая бесконечно тонкая пленка, определяется не конечными уравнениями аналитической геометрии Декарта и Монжа, а дифференциальн. квадратической формой, к-рой на этой поверхности выражается квадрат элемента длины и инвариантами к-рых выражаются все собственные свойства поверхности — прежде всего ее кривизна в каждой точке. В развитии, к-рое этим идеям дал Риман (см.), они
