действием») этой гипотезы наступит событие Е, равна Т. к., далее, событие Е может наступить под действием одной и только одной из наших гипотез, то, по теореме сложения В-стей, мы будем иметь: Р =Р1Р1 + Р 2Р 2 + • • • + РкРк> где через Р обозначается В. события Е (вычисленная безотносительно к тому, какая из гипотез осуществится). Это — т. н. формула полной В., имеющая важное применение во всех приложениях теории В-стей.
Одним из важнейших отделов исчисления В-стей является учение о т. н. В-стях a posteriori, позволяющее судить о В-стях гипотез на основании опыта. Пусть в только что приведенной схеме мы констатировали наступление события Е, при чем неизвестно, под действием какой именно из гипотез это событие состоялось. Спрашивается, какова В. того, что осуществившейся оказалась именно гипотеза Н$ Эта задача, в особенности важная для экспериментальных наук, имеет следующий смысл: если ранее мы имели основание приписывать гипотезе Hi В. то какой корректив может внести в эту оценку тот факт, что событие Е с остоялось, т. е. какова та новая В. которую мы должны приписать гипотезе Н{ на основании этого факта? Задача решается при помощи формулы: 'Ч. р * где Р — полная В. ожидаемого события. На эту теорему впервые обратил внимание Байес (см. Байеса теорема). — Эта же схема рассуждений дает возможность находить В-сти будущих событий на основании уже имеющегося опыта. Допустим, что событие Е один раз состоялось. Какова В. того, что при повторении испытания оно состоится снова? До первого испытания В. события Е определялась указанной выше формулой полной В. После же того, как это событие один раз состоялось, В-сти различных гипотез, как мы видели, изменяются; числа Р/ заменяются числами 7tf и полная В. события Е получает выражение: *iPi +л2р2+ ... +лкрк = Л Pi2 + Л??+•• + Ар? Р1Р1 + Р2Р2 + ••• + Ркрк Повторяя это рассуждение, мы могли бы вычислить В. события Е, основываясь на сколь угодно сложном опыте (напр., на предположении, что при пяти произведенных испытаниях событие Е три раза состоялось и два раза не состоялось). Если до опыта о В-стях гипотез нам ничего неизвестно, то мы считаем все гипотезы равновероятны ми и потому полагаем Рг= (г=1, 2,... к), за отсутствием основания считать одну какую либо из гипотез более вероятной, нежели другую.
Одной из наиболее интересных в математическом отношении глав учения о В-стях служит исследование повторения испытаний, продолжающихся безгранично; прикладное значение этой главы особенно велико. Относя поэтому этот вопрос уже к приложениям исчисления В-стей, остано 326
вимся здесь еще на случае, когда число различи. возможностей неограниченно велико.
В. в континуальном ряде. Наиболее важным в практическом отношении является такое положение вещей, когда имеющиеся возможности образуют некоторую непрерывную совокупность («континуальный ряд», «континуальное распределение»). Принципы, на основании которых здесь могут быть исчислены В-сти, весьма различны; общим моментом этих принципов служит все то же соображение об отсутствии у нас основания считать одно какое-либо событие более вероятным, нежели другое. Если материальная точка (тяжелое тело ничтожно малых размеров) бросается наудачу на шахматную доску, то число возможных положений этой точки на доске безгранично; у нас нет оснований полагать, что В. попадания точки на какую-нибудь одну из 64 клеток доски превышает В. ее попадания на какую-нибудь другую клетку. Этого соображения достаточно, чтобы принять В. попадания точки на определенную выбранную клетку равной — gy Однако, в случае континуальных распределений, этот принцип «отсутствующего основания» часто бывает недостаточен для однозначного решения задачи. Известен, напр., — т. н. «парадокс Бертрана», состоящий в еле — а А. _____ £_____ Дл дующем: в данном круге (рисунок 1) науда-/ | чу выбирается хорда;! о как велика В. того, что\ / длина этой хорды ока- \ / жется больше длины \ / стороны вписанного в тот же круг правильного треугольника, т. е. рис. 1. окажется более чем )/~3 (больше АВ), если мы для простоты примем радиус круга за единицу? Мы можем считать все величины централь-* ного угла (от 0 дол), соответствующего выбираемой хорде, равновероятными; а т. к. для осуществления требуемого условия нужно, чтобы величина этого центрального угла 2п АОВ превосходила — у, то для искомой В.Т-Т
мы получаем величину у. Но, с другой стороны, мы с таким же основанием можем считать равновероятными всевозможные (от О до 1) расстояния (ОС) выбираемой хорды от центра круга; а т. к. для осуществления требуемого условия нужно, чтобы это рас1 стояние было менее у, то искомая В. становится равной половине. Получаемое противоречие свидетельствует о том, что применение «принципа отсутствующего основания» в случае континуальных распределений сопряжено с принятием тех или иных дополнительных определений. Так, в приведенном примере надо заранее установить, что мы понимаем под произвольной хордой. Дав точное определение, мы получим однозначный ответ.
А. Хитин.
