ВЕРОЯТНОСТЬ 324 323 отдельных событий. Сюда ясе относится бо
вынутый карандаш окажется имеющим один гатый опыт страховых операций и резуль
из номеров — 1, 2 или 3 (безразлично, какой таты биологии, и экономии, статистики. До именно из этих трех). Случаев, благоприятпущение, ито при большом колипестве по
ствующих этому событию (т. е. таких, при вторных опытов события наступают в той которых это событие наступает), имеется пропорции, в какой она выиислена прави
М1+и2+п3; следовательно, лами математии. вероятности (там, где эти Щ. + +п3 Р1, 2, 3= ------------ „------- =Р1 + Р2 + Рзпоследние применимы), оправдывается при опытной проверке теми же приемами дедукции и индукции, какими обыпно устанавливаются и другие объективные научные законы.
А. Боули (A. Bowley, Лондон').
II. Исчисление вероятностей.
Возникновение и развитие исчисления В-стей.
Практическая потребность в математических расчетах, связанных с В-стями событий, возникла очень давно; поэтому отдельные относящиеся к таким расчетам рассуждения можно найти в источниках весьма давнего происхождения; так, в законодательных актах Юстиниана (6 в.) имеются пункты, в которых фактически находят себе применение понятия о В. смерти в определенном возрасте; в ср. вв. существовали морские страховые компании, в своих расчетах руководствовавшиеся соображениями о В-стях. Однако, систематическое исследование относящихся сюда вопросов началось лишь с 17 в.
В начале этого века Галилей пытался учитывать В-сти ошибок, получаемых при физических наблюдениях; к этому же времени относятся первые попытки создания основанной на исчислении В-стей общей теории страхования. В середине 17 века Паскаль, Ферма и Гюйгенс положили основание понимаемой в ее современном смысле теории В-стей, создавши общую теорию азартных игр. Дальнейшим крупным этапом в развитии учения о В-стях явилось изданное в 1713 сочинение Якова Бернулли «Ars conjectandi», содержавшее, м. пр., его знаменитую теорему. Позднее развитию теории В-стей и ее приложений в значительной мере способствовали Байес, Даламбер, Лежандр, Лаплас, Гаус, Пуасон и Чебышев. В последние десятилетия теория вероятностей в особенности культивировалась нашей Академией наук; в частности, широкой известностью пользуются работы академиков Маркова и Ляпунова.
Теорема сложения и умножения В-стей.
Задача математическ. исчисления В-стей заключается в том, чтобы по известным значениям В-стей одних событий вычислять В-сти других, более сложных событий. В основе этих вычислений лежат два основных предложения, сущность к-рых выяснится на следующем примере. Представим себе ящик, содержащий п карандашей пяти различных номеров, совершенно одинаковых на ощупь и тщательно перемешанных. Пусть при этом имеется карандашей № 1, п2 карандашей № 2 и т. д., так что п^п^п^п^п^п.
Если мы наудачу вынимаем карандаш из ящика, то В.
(i=l, 2, 3, 4, 5) того, что вынутый карандаш будет иметь № г, согласно определенному выше способу измерения В.
выразится числом — ', т. е.
= — . Теперь
спрссим себя, как велика В. р1? 2>3 того, что
Обобщая это рассуждение, мы приходим к первому из основных двух предложений, к т. н. теореме сложения В-стей, состоящей в том, что В. наступления одного из нескольких исключающих друг друга событий равна сумме В-стей этих событий.
Пусть теперь мы вынули один карандаш, записали его номер, вернули вынутый карандаш обратно в ящик, тщательно перемешали карандаши и затем вторично вынули один карандаш. Спросим себя, с какой В.
Pi;2 можно ожидать, что первый из вынутых карандашей имеет № 1, а второй — № 2. Т. к. любой из имеющихся в ящике карандашей мог оказаться вынутым как в первый, так и во второй раз, то всего мы имеем дело с п2 возможных комбинаций, при чем у нас есть все основания считать эти комбинации равновероятными. Для того, чтобы наступило событие, о котором идет речь, нужно, чтобы осуществившаяся комбинация состояла из таких двух карандашей, из к-рых первый имеет № 1, а второй — № 2. Т. к. любой из карандашей № 1 может сочетаться с любым из карандашей № 2, то, очевидно, всех таких пар будет wx. n2. По определению В-сти, п-.. п2
Обобщая это рассуждение, мы приходим к т. н. теореме умножения В-стей, заключающейся в том, что В. совместного наступления нескольких событий равна произведению В. этих событий. При этом важно отметить, что данные события предполагаются взаимно независимыми, т. е. что В. одного какого-либо из них не зависит от того, осуществились или не осуществились другие из этих событий. — В случае, когда мы имеем дело с событиями взаимно зависимыми, аналогичное рассуждение легко показывает, что В. совместного наступления двух зависимых событий равна произведению В-сти первого события на В. второго, вычисленную в предположении, что первое событие состоялось.
В. гипотез и будущих событий. Пусть положение вещей таково, что необходимо должен осуществиться один и только один из к случаев Н19Н3,... Нк, которые назовем «гипотезами» и В-сти к-рых обозначим соответственно через Р19 Р2,... Рк. Пусть известно, что нек-рое событие Е получает ту или иную В. в зависимости от того, к-рая из наших к гипотез осуществится; обозначим через В., получаемую событием Е при условии, что осуществилась гипотеза ВЦ (i = l, 2,... k).
По теореме умножения вероятностей, В. того, что: 1) осуществится гипотеза и 2) при осуществлении (или, как говорят, «под
