способом с полной точностью путем строгого мыслительного процесса. — Чтобы перейти к измерению вероятности, мы должны дать особое определение ее, правильнее — математическое определение В., в уточнение субъективного понимания ее. На этой стадии полную уверенность в наступлении события обозначают единицей, полную невозможность его — нулем, а промежуточные степени В. — соответствующими дробями. Понятия «полной уверенности» и «невозможности» события в этом случае можно иллюстрировать так: если урна содержит нек-рое количество шаров, из которых одни окрашены в черный цвет, а другие — в белый, и мы вынимаем один из них, то мы можем сказать наверное, что вынутый шар будет либо черным, либо белым, и мы признаем совершенно невозможным, чтобы этот шар был красным.
Измерение математической В. Чтобы построить систему измерения В., необходимо установить систему единиц. Это основано на некоторых допущениях и осуществляется по следующей схеме. Предположим, что при известных обстоятельствах может произойти N различных событий, из к-рых, однако, в действительности осуществляется только одно, и что при тех сведениях, к-рыми мы относительно этих событий располагаем, нельзя усмотреть никакой разницы между В-стями этих событий, между нашим ожиданием того или другого из них. Тогда за единицу измерения В. принимается Предположим при этом, что природа этих явлений такова, что наступление М из них ведет к некоторому результату, к-рый мы считаем благоприятным — к «успеху», тогда как остальные ведут к неблагоприятному результату — к «неудаче». Тогда В. успеха М выражается числом (латинская буква р, обозначающая В., принята в этом значении в международной номенклатуре), о .
N — M а В. неудачи — числом £=1 — УвеN ренность выражается числом ^ = 1 (величи" на М совпадает с N), а невозможность выражается (М равно 0, и ни одно из событий не может оказаться успешным). Пример: бросается кость безукоризненно кубической формы; при падении одна из ее шести граней (JV=6) должна оказаться наверху; если благоприятным результатом мы условимся считать появление сверху пя2 1 терки или шестерки, то М=2, р — 4 2 q~ 6 ~ 3 Математическая и субъективная В. Невозможно доказать, что величина р является мерой субъективной оценки (если вообще субъективная оценка поддается измерению). Можно лишь поставить вопрос о том, совпадает ли порядок расположения субъективных оценок и величин р. В приведенном примере субъективными оценками мог бы заняться Б. С. Э. т. X.только человек, опытный в бросании костей; но по мере увеличения опытов этого рода субъективное ожидание событий будет все больше и все теснее совпадать с расположен ни ем соответствующих значений р. Часть этого опыта может как раз обнаружить, что появление событий имеет тенденцию располагаться в порядке, определяемом математической В., которая устанавливается данными, известными нам об условиях опыта. Математическая В. сама по себе обусловлена только нашим знанием этих условий; так, В. того, что данное лицо умрет естественной смертью в течение ближайших 12 месяцев, выразится весьма различной величиной, в зависимости от того, можем ли мы отнести его в ту или иную группу по полу, возрасту, профессии и другим признакам, и в соответствии с нашими сведениями о нормах смертности по этим признакам. Точно так же и субъективное ожидание изменяется, соответственно, с увеличением опыта или сведений, которыми мы располагаем. Малолетний ребенок не может иметь определенного мнения о предстоящей погоде, тогда как опытный моряк может быть вполне уверенным в том или ином изменении ее. Изменение математической В. от 0 до 1 имеет, поэтому, вполне ясно выраженное сходство с изменением субъективных оценок: там, где мы имеем дело с однородными явлениями, величина В. возрастает одновременно со степенью субъективной оценки, и совпадение это тем явственнее обнаруживается, чем больше субъективная оценка опирается на опыт.
Математическая В. и опыт* Если мы скажем, что В. успеха при производстве какого-нибудь опыта составляет j, то это отнюдь не равносильно утверждению, что при трех повторениях опыта один и только один из них даст благоприятный результат; вообще, никакого определенного утверждения относительно результатов таких трех испытаний сделать будет невозможно. Такое соответствие теории и опыта может быть установлено лишь путем большого числа повторных испытаний — это и устанавливает теорема Бернулли. Она заключается в следующем: если мы п раз производим какоелибо испытание, при чем В. благоприятного исхода все время равна р, и если успешный результат при этом имел место т раз, то т разность — р уменьшается с увеличением
числа испытаний и может быть сделана сколь угодно малой, когда число испытаний п неограниченно возрастает (математическую формулировку теоремы Бернулли см. ниже; см. также Бернуллиева теорема).
Конечно, результаты испытаний не могут протекать в полном соответствии с требованиями математических допущений, но чем полнее реализуются эти допущения при производстве испытаний, тем точнее осуществляется на результатах испытаний закон Бернулли; мы имеем достаточно большое количество опытов, вполне это подтверждающих. К числу таких опытов принадлежат азартные игры, при к-рых самый механизм бросания костей, раздачи карт и т. д. предопределяет равновозможность появления 11
