наступит ли оно или нет. — В общественной и личной практике в целом ряде случаев возникает настоятельная потребность в определении степеней В., т. е. в объективном учете наиболее и наименее возможных случаев. Исследования проблем В., начатые в 17 в. геометрами Паскалем и Ферма и продолженные впоследствии рядом математиков и философов, показали, что, несмотря на видимое противоречие между понятиями «случайного» и «закономерного», в известных случаях степень В. оказывается доступной математическому определению (см. ниже), к-рое, как таковое, обладает уже не только В., но и достоверностью. Условия определения степеней В. исследуются: 1) логикой — в отделах о так наз. модальности суждения (см. Модальность) и об умозаключениях (см.), и 2) математикой — в т. н. исчислении или теории В. [см. Вероятность (в математике)].
Принципиальные основы для анализа В. дает логика; математическая трактовка вероятности сама покоится на логической природе т. н. разделительного суждения (см.) и возможна в силу того, что в разделительном суждении число членов деления играет решающую роль.
Возможность измерения степеней В. зависит от способов образования наших суждений. Измерение это неосуществимо в родовых суждениях, индуктивно полученных из опыта, т. к. здесь всегда могут быть условия, ускользающие по своей природе от нашего учета. Напротив, в умозаключениях, основанных на аналогии, В. измерима и выражается дробью, числитель которой есть число всех благоприятных случаев, а знаменатель — число всех возможных случаев.
Исчисление В. составляет одну из областей математики. В конечном счете всякое суждение В. о единичном покоится на условном суждении, имеющем общее значение. Поэтому даже точная дробь В. может указать лишь степень субъективного ожидания, обоснованную мерой нашего знания.
Тем не менее, теория В. получает ряд важных практических применений во всех случаях, когда фиктивный характер распределения между отдельными индивидами В., вытекающей из общей средней, не играет практической роли. Такова, например, страховая математика, т. е. учение о применении теории В. к статистическим наблюдениям для коммерческой организации страховых обществ. По и в теоретических науках применение исчисления В. также возможно. При его участии разработан ряд специальных задач и теорий математики и физики: теория ошибок, кинетическая теория газов и другие.
Лит.: О В. в лит. по логике на рус. яз.: Л а — плас, Опыт философии теории вероятностей, М., 1908; М и л ль Д ж. С т., Система логики, гл. XVII — XVIII, 2 изд., М., 1914; ЗигвартХр., Логика, т. 11, ч. 1, § 85, СПБ, 1908, и т. II, ч. 2, § 102, СПБ, 1909; ЛиппсТ., Основы логики, гл. XLIII, СПБ, 1902; Пуанкаре А., Наука и гипотеза, гл. XI, М., 1904, и др. В иностр, лит.: К. G г е 11 i n g, Die philos. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung, 1910; Meinong, Uber Moglichkeit und Warscheinlichkeit, 1915. Сводку основных определений понятия В. в историческом развитии логики от древности до новейшего времени дает R. Б i s 1 е г, Worterbucli der philosophischen Begriffe, В. II, статья «Wahrscheinlichkeit», 2 Auflage, Berlin, 1904. В АсмусВЕРОЯТНОСТЬ (в математике). Содержание: I. Исходные положения математической теории вероятностей .............................................................II. Исчисление вероятностей.....................................III. Приложения теории вероятностей..................Понятие о В. в математике. — Измерение математической В. — Математическая и субъективная В. — Математическая В. и опыт.
Возникновение и развитие исчисления В-стей. — Теорема сложения и умножения В-стей. — В. гипотез и будущих событий. — В. в континуальном ряде.
Теорема Бернулли. — Закон больших чисел. — Закон ошибок. — Кривые распределения численностей. Моменты. Штандартное отклонение.
Вероятность (в математике) какого-либо события есть число, оценивающее, в какой мере имеются основания ожидать наступления этого события. Уже простейшие соображения (напр., понятный каждому смысл фраз: «одно событие вероятнее другого» или «два события одинаково вероятны») показывают, что В-сти событий допускают количественное сравнение и, следовательно, могут служить предметом математического исследования. Однако, целесообразное установление этого числа, приведение его в соответствие с нашим субъективным понятием о В. и теми конкретными задачами, разрешению которых оно должно содействовать, представляют значительные трудности и требуют углубленного исследования, начиная с самого понятия В. с математической точки зрения.
I. Исходные положения математической теории вероятностей.
Понятие о В. в математике. В субъективном
определении, В., как указано в предыдущей статье (см. Вероятность), есть суждение, построенное индивидом относительно возможности наступления какого-нибудь события.
В зависимости от того, какими сведениями мы располагаем об обстоятельствах, при которых события наступают, это мнение колеблется между ощущением — уверенности, что событие не наступит вовсе, и ощущением уверенности, что оно наверное наступит; в синтезе этих противоположных предположений оно проходит через ряд промежуточных стадий допущения возможности события, некоторой его В. и, наконец, значительной его В. Это мнение определяется, с одной стороны, допущением причинной зависимости между последовательно наступающими событиями, а с другой — лишь частичным знанием ее.
Первым шагом в деле точного измерения В. является порядковое расположение степенейдопущения, так же, как в арифметике первым шагом счисления является порядковая нумерация; само же измерение является вторичной стадией этого процесса. Мы можем, напр., предполагать, что при подбрасывании пары костей В. появления неодинаковых чисел больше, чем В. появления одинаковых; когда небо покрыто дождевыми тучами, мы делаем допущение, что В. наступления дождя для ближайших часов превышает В. наступления хорошей погоды. Но мы еще не можем выразить наши ожидания неодинаковых чисел или дождя хотя бы порядковым
