векторный поток равняется произведению содержащейся внутри поверхности эффективной массы (заряда) на 4 л и на эффективную постоянную поля. При этих обозначениях в гравитационном поле, обусловливаемом непрерывно расположенными массами, эффективная масса совпадает с действительной гравитирующей материей, а е есть гравитационная постоянная. В электрическом поле эффективная масса совпадает с тем, что мы называем зарядом поля, а 8 — с диэлектрической постоянной. — Вообще, тождество Гаусса — Остроградского обнаруживает, что В-ный поток, исходящий от поверхности некоторого тела, может в известных пределах быть эквивалентным воздействию, идущему от каждого элемента объема этого тела. Можно сказать, что в электродинамике две части этого равенства в значительной мере характеризуют два теоретических течения: левая часть — т. и. классическое (до Максуэлла), а правая — новый подход Максуэлла.
Поле, в котором дивергенция в каждой точке равна нулю, называется незаряженным (по терминологии электродинамики) или соленоидальным (по терминологии теории магнетизма). Вихри С любого В-пого поля JF образуют новое В-ное поле; простое вычисление обнаруживает, что это поле всегда соленоидальное; так как эффективные массы в любом объеме поля в этом случае равны нулю, то и векторный поток, из него выходящий, равен нулю.
Это можно формулировать иначе. Если рассечь замкнутую поверхность, расположенную в соленоидальном векторном поле, какой-либо линией на две части, то через одну часть входит внутрь ее такой же векторный поток, какой выходит наружу через другую часть.
G. Циркуляция в в-ном поле. Пусть €! будет вихревое поле, вызываемое полем — F*. В этом поле представим себе замкнутую линию и через нее проведем две поверхности, ею ограничиваемые (рис. 17); эти поверхI ности выделят замкнутый объем, в ко// • / • торый будет через 7 vM *А;L/. \ одну поверхность / /< \ /'JxX входить такой же /у'М У /, ] ? У вихревой поток, ка| "А кой через другую _____ будет из него выРис. 17. ходить. Если присвоить замкнутой линии (контуру) направление обхода и в каждой точке поверхности, этим контуром огибаемой, считать нормаль обращенной таким образом, чтобы с нее обход линии казался. направленным против часовой стрелки, то такой поверхности будет этим путем присвоена сторона, сопряженная с направлением обхода. Предыдущему результату можно, соответственно этому, дать следующее выражение. Если через замкнутую линию провести две ограничиваемые ею поверхности, то вихревой поток, отходящий от каждой поверхности в сторону, сопряженную с направлением обхода, будет иметь то же значение. Этот поток, следовательно, не зависит от формы проведеннойповерхности, а вполне определяется выбранным контуром. Он должен, поэтому, и математически получить выражение, определяемое этим контуром. Это связано с понятием о криволинейном интеграле в В-ном поле и о циркулял ции. Положим, f что в В-ном по/ ле Fзадана криг/ вая, отнесенная / к параметру b / (рис. 18). Элемент кривой мы 1 можем рассмат- / ривать, как бесконечно — малый Рис 18 В. ds. Скалярное произведение Fds может быть выражено в числах формулой Fds cos (d = Fx dx — f- Fy dy + Fz az (to — угол между F и ds).
Выразив все входящие сюда величины через t, мы получим элемент интеграла, вычисление к-рого приводится к квадратуре: \
Fds = \
Fxdx — h Fydy+Fzdz = Г» tl
= \ F cos tods.
Это и есть криволинейный интеграл в нашем В-ном поле по заданной кривой от точки MQ до Мг. Криволинейный интеграл по замкнутой кривой называется циркуляцией по этой кривой.
7. Теорема Стокса. Циркуляция по любой кривой обращается в нуль в том и только в том случае, когда поле потенциальное, т. е., когда его вихрь во всех точках поля равен нулю. В этом случае и вихревой поток, отходящий от любой поверхности, проведенной через заданную замкнутую кривую, равен нулю. Так паз. теорема Стокса заключается в том, что В-ный поток, отходящий от такой поверхности, всегда равен циркуляции по ограничивающей ее кривой; при циркуляции обход по кривой должен быть только выбран таким образом, чтобы его направление было сопряженным со стороной поверхности, в к-рую направлен поток. Таково чрезвычайно наглядное выражение, к-рое получает теорема Стокса в В-пом исчислении. Оно приводит к следующему геометрич. определению вихря в точке М В-ного поля. Проведем через точку М луч и к нему перпендикулярную плоскую площадку, контур к-рой огибает точку М; приведя направление контура в соответствие с направлением этого луча, вычислим циркуляцию по контуру в этом направлении. Отношение этой циркуляции к площади, огибаемой контуром, дает в пределе (когда контур уменьшается до нуля) численное значение проекции вихря на исходное направление. То направление, в котором этот предел достигает максимума, есть направление самого вихря. Это геометрическое определение, эквивалентное
