ВЕКТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕВ англ. литературе вихрь принято обозначать символом curl _F (англ. слово curl обозначает вихрь); во франц. и немец, литературе предпочитают символ rot F от слова rotation — вращение, т. к. вихревой В. имеет большое значение в теории вращательного движения. В градиентном поле вихрь обращается в нуль, и поэтому такое поле называется безвихренным. а по физическому своему значению — потенциальным: силовое градиентное поле имеет силовую или потенциальную функцию <р.видеть, что предельный В. J£'(s)=^- будет направлен по касательной к кривой в сторону возрастающих значений е. Численно же мы имеем здесь предел от(1Л ношения хорды к дуге; поэтому — у — есть единичный as В., направленный по касательной в сторону нарастания s, т. н. тангенциальный В. t в точке
3. Дифференцирование В. по скаляру. Геометрические и механические приложения. В В-НОМ поле
В. F представляет собой функцию координат точки. Часто приходится, однако, рассматривать В-ы, приложенные не во всех точках пространства, а в точках некоторой кривой. Такого рода В. представляют собой функции одной независимой переменной — параметра, в к-ром выражены координаты точек кривой: F=F(u).
Наращение JF = F(u + Ju) — F(u), к-рое получает В. F(u), когда независимая переменная получает наращение Ju, представляет собою В., стремящийся, при непрерывности вектор-функции — F(u), к нулю вместе с AF Ju. В. — i — при этом обыкновенно имеет своим Ju пределом определенный В., к-рый называется производной вектор-функции или, короче, ч dF(u) х В-a JF(u) (обозначается F (и) или — ^---) Правила дифференцирования суммы, разности, скалярного и геометрического произведения В-ов совпадают с обычными правилами дифференцирования; это коренится в том обстоятельстве, что выводы этих правил основываются исключительно на тех фюрмальных свойствах суммы и произведения, к-рые сохраняют свою силу и для В-ов.
Но при дифференцировании геометрического произведения необходимо, конечно, сохранять порядок множителей: да-|
du
L
глге-|
duA [_du
J
д dF(u) обраПроизводная вектор-функция щается в нуль в том и только в том случае, когда F есть постоянный В. Дифференцируя, поэтому, равенство F=Fxoc ~FFyy+F&z и принимая во внимание, что единичные В-ы ж, у, г суть постоянные, получаем: dF dFx . dFv, dFs du du du du '
т. e. координаты производной В-a суть производные от координат. Хотя это предложение прокладывает путь к осуществлению дифференцирования вектор-функций средствами классического анализа, но непосредственно В-ные приемы часто дают несравненно лучшие результаты. Нижеследующие примеры дают об этом представление. т-г
Кривая в В-ном исчислении задается таким образом, что радиус-вектор ее точки, к, задается в функции параметра, напр., длины дуги s: Jt=/?(s). Если от точки M(s) перейдем к M'(s'+ds), то AJZ=J?(s+ds) — Jtf(s) (рис. 13) совпадает с направленной хордой ММ'. Легко
Рис. 13.
М кривой. Т. к. г2=1, то дифференцирование дает _ т. е. т» В.
t dt =0, перпендикулярен к касательной; он называется главным нормальным В. в точкеМ кривой. Если через а обозначим его длину, а через п — единичный В. того же направления, то ~^=<т. Число а называется кривизной кривой в точке М. Мы видим на рис. 14, что в равнобедренном треугольнике ТМ'Т', в к-ром боковые стороны М t
Рис. 14.
М'Т и М'Т' имеют единицу длины, сторону TT' — ^t можно считать численно равной dw — углу между dw смежными касательными, и потому а== — .
&=[«**] есть единичный В., перпендикулярный как к «, так и к п; он называется бинормальным В.
Три В. t, п, Ъ, очевидно, связаны соотношениями: b=[fn], t = [nb], п=[bt], (12а) tWi2 = fc’=l.
(12Ь) Т. к. Ь2=1, то Ь т. е. В. ~ перпендикулярен к Ь\ с другой стороны, дифференцируя первое из соотношений (12а), получаем:
ds
Lds J L — ГЬ dsJ ’Ы+Ь L J L ds-l
Отсюда следует, что В.
L
^1ds-J
перпендикулярен к t.
Будучи перпендикулярным к ъ и t, В. ™ коллиds db неарен с п, т. е. -^=тп, где т — -скаляр. Число т называется второй кривизной кривой в точке М. — Дифференцируя третье соотношение (12а), получим:
^=[^*]+[ь^]-7М+’W
<t4>
Это — известные формулы Серре-Френе, составляющие основу всей дифференциальной геометрии кривых.
Все остальные формулы этой геометрии развертываются из них с такой же простотой, в то время, как их вывод без помощи В-ного исчисления представляет значительные трудности. Бурали-Форти дал построение дифференциальной геометрии поверхностей средствами векторного исчисления, которое по простоте и изяществу также оставляет далеко за собой классические методы.
В качестве второго примера приложений В-ного анализа остановимся на выводе основных понятий кинематики. Движение материальной точки определяется заданием радиуса-вектора и точки в функции времени K=K(t). Само собой разумеется, что Л
