Поверхности ф = С (где С — произвольная постоянная), на к-рые расслаивается скалярное поле, называются поверхностями уровня этого скаляра. В каждой точке поля градиент направлен по нормали к поверхности уровня, через эту точку проходящей ; он обращен в сторону возрастания скаляра и, т. о., всегда указывает направление наибольшего возрастания функции; численное значение градиента есть наибольшее значение, которое получает в данной точке поля ориентированная производная. Вместе с тем, 7 . 1,, 7 . ~~ д(Р dz=Gds, 7
dx-\dy+ г дх ду v dz т. е. равно скалярному произведению градиента на бесконечно-малый В. ds, 'ящущий от точки М(х, у, z) к Mf(x-\-dx, y+dy, ‘ z-\-dz). Эти свойства вполне определяют градиент геометрически и, так. обр., устанавливают, что соотношение (8), определяющее градиент в координатах, инвариантно, т. е. остается в силе при любом преобразовании ортогональных декартовых координат; это можно, конечно, обнаружить и прямым осуществлением этого преобразования. Градиент можно определить геометрически весьма многообразно. Следующая теорема, ведущая свое начало из гидростатики и имеющая очень большое прикладное значение, приводит, к одному из лучших определений градиента. — Как известно, гидростатическое давление внутри жидкости в точке М на площадку о не зависит от направления площадки. По нормали к площадке в ту или в другую сторону оно равно yds, где ф есть скаляр, имеющий определенное значение в ; каждой точке М. Так как, однако, давление представляет собою силу, то выражающий ее В. можно представить в виде <pdon, \ где п — единичный В., направленный по нормали к площадке в ту сторону, в которую : мы определяем давление. Отвлекая от этого факта его геометрическую сторону, бесконечно — малый В. <pdon называют д a — iвлением скаляра ф на площадку do в направлении п. Положим теперь, что в ; поле скаляра <р выделен объем, ограниченный замкнутой поверхностью; мы мо-; жем представить себе, что этот объем зани — мает тело V, Пусть do будет элемент этой поверхности, п — единичный В., нормаль- : ный к ней в точке этого элемента и обращенный внутрь Г; мы сможем смотреть на, <pdon как на элемент давления, испытывав — 1 мого телом V в поле скаляра ф. Разбивая •, всю поверхность на элементы, суммируя элементарные давления, оказываемые на них скаляром, мы получим В., к-рый в пределе > выражается интегралом^*<pndo. Этот В. называется давлением скалярного поля ф на погруженное в него тело V. Еще Грин уста- ’ новил тождество, которое, по установленной выше терминологии и знакоположению, выражается тождеством fyndo = fdvpv, где dv — элемент объема тела v, а рср, попрежнему, выражает градиент функции ф.
Это тождество, представляющее собою за- • мечательное преобразование поверхност- • ного интеграла в объемный, показывает,что давление на поверхность тела может быть эквивалентным по своему эффекту некоторому воздействию, оказываемому на каждый элемент его объема. Теорема Архимеда, законы осмотического давления, давления в растворах и др. представляют собой только различные случаи, в которых этот общий закон находит себе применение.
С другой стороны, то же тождество показывает, что давление f<pndo на поверхность тела равняется произведению объема этого тела на'В., который тем ближе к градиенту в пек-рой точке этого тела, чем меньше его объем. Если, поэтому, нек-рую точку этого тела окружить небольшой оболочкой, рассчитать давление, оказываемое на эту оболочку, и это давление разделить на ограничиваемый оболочкой объем, то полученный В. имеет своим пределом градиент поля в точке М, когда оболочка, сжимаясь, стремится свернуться в эту точку.
Это *может быть принято за определение градиента; из этого определения, обратно, не трудно вывести теорему о давлении.
2. B-пое поле и его вихрь. Понятие о градиенте естественно приводит к векторному полю, т. е. к такой части пространства (она может иногда охватывать и все пространство), в каждой точке которой приложен В.: так, в каждой точке скалярного поля приложен В. — градиент поля.
В-ные поля играют огромную роль во всех прикладных науках. Каждую точку гравитационного поля, т. е. поля всемирного тяготения, мы можем рассматривать, как точку приложения силы, действующей на нек-рое стандартное тело в силу всемирного тяготения. В электростатическом поле в каждой точке приложен В., представляющий напряжение поля; электромагнитное поле определяется двумя В. — электрическим и магнитным в каждой его точке и т. д.
В соответствии с изложенным, прежде всего возникает вопрос: не представляет ли заданное В-ное поле JF градиентное поле некоторого скаляра ф. Чтобы это имело место, выражение Fxdx-\-Fydy-\-Fzdz должно представлять собой полный дифференциал d<p, а для этого, в свою очередь, необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке поля имели место равенства: x ^_^=n dF* dF°_ О dFv dF — Л=о. (9) ду dz ’ dz дх 1 дх ду v 7 Это, конечно, имеет место только в исключительных случаях, вообще же левые части этих равенств г JhJJy с
х ду dz ’ у dz дх (10) z дх ду можно рассматривать, как координаты некоторого В-a С. Это находит себе оправдание еще в том обстоятельстве, что В. С, определенный таким образом в некоторой системе ортогональных декартовых координат, выражается теми же формулами при любом преобразовании таких координат.
Этот В. принято называть вихревым В — о м или просто вихрем В-ного поля F.
