Страница:БСЭ-1 Том 09. Варлен - Венглейн (1928)-2.pdf/28

Эта страница не была вычитана

заимствованы. Если ос, у и» суть координатные единичные В. в ортогональной системе, то [осу], по указанным выше соображениям, совпадает с я или с  — 2, в зависимости от того, в какую сторону обращен В. я. В векторном исчислении ортогональные координаты всегда выбираются так, чтобы [осу]=я (рис. 11). Тогда [жу]=«, [?/«]=«, [жк]=у.

(4) Т. к. длина геометрического произведения [ЛВ] численно равна площади параллелограма, построенного на В-ах А и В, то оно обращается в 2 нуль не только тогда, когда один из перемножаемых В. равен нулю, но и тогда, когу / ~ && они коллинеарны; / властности, геометри/х ческое произведение ' В. Л. на самого себя, Рис. и.

[ЛА], равно 0. Соответственно этому, [а5ж]=[у»/]=[йг]=0.

(5) Если теперь выполним умножение в правой части равенства [АВ]=[(Ахос-]-Ауу-]-Агя) (Вхм~{~Вуу+Вгя)] и примем во внимание соотношения (4) и (5), то получим: [ЛВ]=(A yBz — AzBy) oc+(AZBX — A xBz) y+ +(AxBy-AyBx^.

(6) Это дает нам координаты произведения по координатам перемножаемых В. И здесь мы встречаемся с особого рода инвариантностью; именно, в каких бы ортогональных координатах ни были заданы координаты В-ов А и В, числа ^z  — AzBy, AZBX АХВ3, АхВу АуВх выражают всегда в соответствующих координатах геометрическое произведение этих В. — То обстоятельство, что геометрическое произведение может быть равно нулю, когда сомножители отличны от нуля, исключает и здесь возможность однозначного обратного действия. Все эти отступления формальных свойств скалярного и геометрического произведения В-ов от свойств произведения обыкновенных чисел имеют следствием все углубляющееся отличие В-ной алгебры от обыкновенной. Развертывание тождественных преобразований, специально свойственных В-ной алгебре, составляет содержание ее дальнейшего развития. Приведем лишь один пример: пусть Е=[А [ВС]] и В=[ВС]. В таком случае В. Е перпендикулярен к В, к-рый, в свою очередь, перпендикулярен к В-ам В и С; поэтому В. В лежит в плоскости В-ов В и С, а потому В = =£В+у(7. Вычисление устанавливает значения коэффициентов р и у, а именно: [Л(ВС)]=В(ЛС) — С(ЛВ),

т. е.

@=АС и у= — АВ.

Векторная алгебра дает значительное количество таких соотношений, применение которых чрезвычайно упрощает вычисления, в которых фигурируют векторы.III. Векторный анализ.

1. Градиент. Давление скаляра на поверхность.

В-ный анализ, т. е. исчисление бесконечномалых, объектом к-рого служат В-ы, имеет свои корни глубоко в классическом дифференциальном и интегральном исчислениях.

Положим, что нам задано скалярное поле, т. е. функция <р(х, у, z) от координат точек, вполне определенная в некоторой части пространства. С точки зрения В-ного исчисления, ее можно рассматривать, как функцию радиуса-вектора В точки М(х, у, z). Из точки М проведем луч, определяемый единичным В-ом t (рис. 12). На нем вблизи точки М выберем точку М' и составим разность <р (М') — <р (М) значений скаляра <р в точках М' и М. Если отношение у (^0 Js Js, где ds — длина отрезка ММ', стремится к определенному пределу, когда ds стремится к нулю, т. е., когда точка М' стремится к совпадению с М, то этот предел называется ориентированной производной функции y(x, y, z), взятой в направлении t. Не трудно понять, что частные производные d

\J & dtp то в силу соотношения (7)^ есть не что иное, как скалярное значение проекции В. €?(ф) на В. t, определяющий направление дифференцирования: \Jds Uу В этом заключается векторный характер ориентированного дифференцирования. Вектор G(tp) называют градиентом функции (р или определяемого ею скалярного поля в точке М. Градиент функции часто обозначают также символом р<р.