перемножаются скалярно, как обыкновенные алгебраические многочлены. Т. н. сочетательный закон, однако, здесь падает, и потому именно при перемножении одночленных выражений, составленных из В., обычные правила алгебры не пригодны. Существенную особенность скалярного произведения двух В. представляет еще то обстоятельство что оно обращается в нуль не только в том случае, когда равен нулю один из перемножаемых В., но и когда Cosco — 0, т. е. когда В-ы взаимно перпендикулярны. Равенство АВ=0 представляет, так. обр., удобное выражение перпендикулярности двух В-ов; но однозначность действия, обратного умножению, вследствие этого, падает. — Скалярное произведение В. на самого себя, очевидно, равно квадрату его длины В2 — ВВ=В2.
В виду этого, для ортогональной системы координат (я?, 2/, я), единичные В., ее определяющие, удовлетворяют соотношениям: a? 2==^2 = g;2 = j) #^ = 3/2 = 205 = 0.
Если выполним в правой части равенства АВ — (Ахж+Ауу+Аг&) <^ВхжТгВууТгВгя) перемножение по обычным правилам и учтем соотношения (2), то найдем: АВ=АхВх-\- AyByA~AzBz.
(3) Правая часть этого равенства есть выражение, составленное из координат двух В-ов; но так как ohoi имеет вполне определенное геометрическое значение, то его величина остается неизменной при преобразовании ортогональных координат. Такого рода число, заданное непосредственно или в координатах, но от выбора координат не зависящее, принято в В-ном исчислении называть скаляром. Разыскание таких скаляров, инвариантов одного или нескольких В., составляет одну из главных задач В-ного исчисления, потому что эта инвариантность имеет своим источником геометрическое, а в прикладных дисциплинах — механическое или физическое значение скаляра.
Угловую скорость тела, вращающегося вокруг оси, принято выражать В-ом <2, направленным по оси вращения и обращенным в ту сторону, с к-рой вращение наблюдается, как положительное, т. е. идущее против часовой стрелки; длина же В. £2 выражается числом, равным численному значению £2 угловой скорости (рис. 9).
При этих условиях скорость V какой-либо точки М вращающегося твердого тела представляет собою В., направленный перпендикулярно к векторам £2 и В в сторону вращения и численно равен £2 R sin со. Это, очевидно, полярный В. (см. Вектор), к-рый заменяет осевой В., именно параллелограм, образуемый В-ами £2 и _В, если обхоРис. 9. дить его периферию, начиная с В. 2. Такого рода осевые В. и заменяющие их полцрные встречаются в прикладных дисциплинах очень часто. В англ.литературе их с давних пор называли «моментами». По этим указаниям прикладных наук из такого рода концепций выделена геометрическая сторона дела и установлено понятие о геометрическом произведении двух В-ов. Под геометрическим произведением [ЛВ] двух В-ов А и В разумеют осевой В., который образует постоянный на этих В-ах параллелограм с обходом его контура, начиная с В. Л; этот осевой В. заменяется соответствующим ему полярным. Указанное выше обозначение геометрического произведения В. принято, главн. обр., в Германии, — между прочим, в «Энциклопедии математических наук». В Англии, по почину Гиббса, часто предпочитают обозначение Ах В; некоторые авторы вводят специальные знаки (БуралиФорти и Марколонго, Шпильрейн). Если мы переставим множителей В-ного произведения, то обход контура параллелограма будет происходить в обратном направлении, а потому соответств. полярный В. переменит знак на обратный, и, т. о., [ВА] = — — [АВ]. Для геометрического произведения В-ов падает, т. о., и переместительный
закон. — Если ж есть единичный В., a IT — произвольный перпендикулярный к нему В.
(рис. 10), то F'=[a? F] есть ни что иное, как В. Z7, повернутый вокруг ж на прямой угол в положительном направлении. Если и F перпендикулярен к ж, то Т' = [жУ] также есть В. F, повернутый на прям. угол. Но вместе с В-ми U и F, на прямой угол поворачивается и В. JF=IT+F, который, т. о., совмещается с В. W' = U'4 — F' (см. рис. 10), так что [ж1Г]==1Г. Таким образом, [жТР]= = [ж(1Т + F)] = W' = U' + F' = [жU] 4- [жГ].
Закон распределительный остается в этом случае в силе. Но существенно то, что к этому случаю путем довольно простых преобразований можно привести геометрическое произведение всяких В-ов, для которых, так. обр., закон распределительности всегда остается в силе. В различных алгебрах, ныне построенных, произведение, как это видно уже на скалярном и геометрическом произведении В-ов, определяется многообразно, но всегда так, чтобы закон распределительности оставался в силе [символ А х должен представлять собой дгьстрибутивный оператор (см.)]. Соответственно этому, геометрическое перемножение многочленов, составленных из В., выполняется как умножение обыкновенных полиномов, с той только разницей, что в каждом члене перемножаемые В-ы должны сохранять порядок тех многочленов, из которых они
