шениями и операциями над соответствен, числами. Так, равенство двух сил выражалось аналитически тремя равенствами между их компонентами; движение точки выражалось тремя уравнениями, определяющими координаты в функциях времени, и т. п. Прямые исчисления имеют целью производить операции над такого рода величинами непосредственно и этим путем избежать расщепления каждого соотношения или каждой операции на несколько. Комплексное число уже представляет собою величину, определяемую двумя действительными числами; соответственно этому, алгебра комплексных чисел есть уже прямое исчисление. Данная Гауссом (1831) интерпретация действий над комплексными числами, при помощи отрезков на плоскости, уже представляла собою переход к В. и. На нее, однако, долго смотрели только как на иллюстрацию комплексной алгебры, не придавая ей серьезного значения. Первые шаги к непосредственным операциям над геометрическими объектами сделали Мёбиус в своем «Барицентрическом исчислении» (см. Барицент. рическое исчисление) и Беллавитис в «Методе эквиполленций» (см. Эквиполленции). Когда алгебра комплексных чисел получила всеобщее признание и значительные приложения, то появилась тенденция дать этой алгебре дальнейшее развитие, т. е. построить комплексные числа, составленные не из двух независимых единиц, а из большего числа их. Задача при этом заключалась в том, чтобы дать такую алгебру высших комплексных чисел, в которой сохраняли бы свою силу все формальные свойства операций обыкновенной алгебры. Это не удаваI. Возникновение и развитие векторного исчилось, а позже Вейерштрасс обнаружил, сления ................................... 243 что это невозможно (подробнее об этом см. II. Векторная алгебра.......................... 245 Гиперкомплексные числа). Но Грасману в 1. Сложение и вычитание В. — 2. КоординаГермании и Гамильтону в Англии, почти ция В. — 3. Умножение В. одновременно и независимо друг от друга, III. Векторный анализ............................ 252 1. Градиент. Давление скаляра на поверхудалось подойти к этой задаче настолько ность. — 2. В-ное поле и его вихрь. — 3. Дифблизко, насколько это возможно. Однако, ференцирование В. по скаляру. Геометричекнига Грасмана «Die lineare Ausdehnungsские и механические приложения. — 4. Интегрирование В-ных функций — 5. Дивергенция lehre» (вторая обработка, в к-рой собственВ-ного поля и теорема Гаусса — Остроградно и выполнена эта задача, издана в 1872) ского. — 6. Циркуляция в В-ном поле. — 7. Теосодержит целый ряд (до 16) таких систем рема Стокса. и изложена крайне трудно; к тому же IV. Значение векторного исчисления............ 261 Векторное исчисление представляет со
Грасман был учителем гимназии и не имел бой совокупность операций, построенных аудитории, в которой мог бы распрострапо общей схеме алгебры и анализа, но про
нить свои идеи. Поэтому его книга оставалась долго почти никому неизвестной. Наизводимых над векторами (см.). * против, Гамильтон имел возможностынироI.
Возникновение и развитие векторного ко распространить свои идеи среди своих исчисления. слушателей в Кембриджском университете В. и. принадлежит к числу т. н. «пря
и создал школу учеников, до энтузиазма увмых» или «непосредственных» исчислений леченных его идеями. «Кватернионы» (см.) (Direkter Kalkul), часто неудачно называе
Гамильтона суть комплексные числа вида мых еще «абсолютными». Геометрические, аг + ftj + у к + 8, составленные из четырех механические, физические величины за
независимых единиц (г, j, к, 1). В то время, даются обыкновенно несколькими числен
как последователи Кембриджской школы ными заданиями — координатами, компо
ими пользовались чрезвычайно широко, нентами, параметрами. Соответственно это
на континенте их не признавали; между му, соотношения между такого рода вели
сторонниками и противниками кватерниочинами, различные комбинации их в при
нов шел, казалось, непримиримый спор. К кладных науках, в классическом их построе
первым принадлежал Максуэлл, который в нии выражались аналитически соотно — своем трактате по электричеству и магнетизму (1873) широко пользовался кватерни♦ В настоящей статье слово «вектор» сокращенно онами, вернее подгруппой их вида ai+ftj+yk обозначается В.
Ома сопротивлением обмотки, и, во-вторых, на реактивное падение напряжения, создаваемое индуктивностью обмотци. Омическое падение напряжения изображается вектором АР, имеющим ту же фазу, что и вектор ОВ, изо\ jr с
бражающий силу тока. Реактивное паде\ \ ние напряжения изо\ \ бражается вектором \ \ PC под углом в 90° к \ \ / . вектору силы тока ОВ.
\ \ / Геометрическая сум\ \ А/ ма векторов О А, АР, \
\ ( PC есть вектор ОС, \
\ I изображающий по ам\ \ плитуде и по фазе \ \ электродвижущую си\ \ лу обмотки. Он опе\ \ режает вектор напря\ \ женияна уголф. При \ \ в измененном характере \ \ф j нагрузки сила тока \ / будет изменяться по \ \ 9/ величине и по фазе \\ -у относительно напря\\ / женин. При этом кооу нец вектора ОВ опи\ шет нек-рую кривую, \ к-рую называют д и а\ граммой нагрузки. Таким же Рис* "• образом можно составить диаграммы линий электропередачи, генераторов и двигателей переменного тока. — Если рассматриваемые периодические величины не являются гармоническими функциями времени, то для них тоже можно составить В. д. при помощи эквивалентных гармонических величин (см. Переменные токи). Наконец, В. д. можно составлять и для периодических величин, имеющих разные периоды, но тогда самая диаграмма деформируется во времени, при чем ее векторы вращаются один относительно другого. Такие диаграммы встречаются при изучении биений (см.), когда рассматривают наложение двух колебаний с близкими периодами.
Лит. ; Круг, К. А., Основы электротехники, 2-е издание, Москва, 1926; Френкель, А., Теория переменных токов, Москва, 1928; Черданцев, И. А., Теория переменных токов, 2-е издание, Москва — Ленинград, 1927. сЯ. Шпилърейн.
ВЕКТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. Содержание:
