при«/=/’(ж) получал значение меньшее, чем при всякой другой допустимой зависимости между х и у\ интеграл (1) зависит от линии, к-рой мы соединяем точки А и В, и наша задача — найти тот вид этой линии (т. е. ту функцию у от х), для к-рого значение этого интеграла было бы возможно меньшим. С этой целью заметим, что в частности инте. грал (1) для y — f(x) должен быть меньше, чем для 2/=/’(®) + а>з(а;), где rt(x) — любая функция, обращающаяся в нуль при ®=^г0 и х=хг (условия того, что кривая проходит Новый вид магнитных вариационных инструментов (Прилож. к т. LXVI «Записок Имп. Академии через точки А и В), и а — любое положиНаук»), СПБ, 1891; «Zeitschrift fur angewandte Geoтельное или отрицательное число; другими physik», H. 10, 11, 1924—25.
H. Малинина. словами, если мы выберем функцию >з(х) и ВАРИАЦИОННАЯ КРИВАЯ, уравнение будем давать различные значения числу а, распределения и соответствующая ему гра
то будут получаться разные линии, и из фика (в теоретической статистике), служа
этих линий та, для к-рой а = 0, должна щие для изучения хода изменчивости какого — давать интегралу наименьшее значение. Но либо признака или явления (см. Биометрия, если мы в интеграл J на место у подставим Кривые распределения). выражение f(x) 4 — лу (х), то интеграл стаВАРИАЦИОННАЯ СТАТИСТИКА, термин, новится функцией переменного а, и притом введенный Г. Дункером (G. Duncker) в функцией, к-рая должна иметь минимум 1899 для обозначения методов математи
при а = 0. Обозначая эту функцию через ческой статистики (см.), имеющих приме
Дя), мы, на основании известной теоремы нение при изучении некоторых биологиче
дифференциального исчисления, должны ских явлений. Соответствует понятию био
иметь J'(a) = 0 при а=0. Эта производная метрия (см.).
J'(a) при а=0 называется первой вариацией интеграла J и обозначается ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ, одна из важнейших ветвей математического ана
(иногда, впрочем, вариацией называют не лиза, возникшая в 18 в. из отдельных задач производную, а соответствующий дифференособого типа; в этих задачах требовалось циал J\a) da). Т. о., мы приходим к условию $ ______________ определить вид линии или поверхности с [/(«) + + аг)\х)}Чх = 0 таким расчетом, чтобы нек-рая величина, зависящая от этой линии или поверхности, при а = 0. Вычисляя эту производную и получала наибольшее или наименьшее зна
применяя к результату интеграцию по часчение. К числу таких вопросов относится, тям, мы находим: напр., задача о кратчайшей линии между двумя точками; задача о проведении через две данные точки такой линии, к-рая при вращении около данной оси давала бы наи
Т. к. при этом функция ъ(х) произвольна, меньшую поверхность вращения; задача о то можно показать, что первый множитель т. н. брахистохроне (линии, по к-рой мате
под интегралом должен тождественно обрариальная точка, подверженная действию щаться в нуль. Это дает нам дифференциальданной силы, в кратчайшее время переходит ное уравнение второго порядка (т. н. ураиз одного данного положения в другое, см. внение Лагранжа-Эйлера), из Брахистохрона). Геометрическими и меха
к-рого и должна быть определена искомая ническими задачами подобного рода на ру
функция f(x). Т. о., введенное выше семейбеже 17и18вв. занимались Ньютон, братья ство функций f(x) + avj(i) позволяет опиБернулли, Лейбниц и др. Общий метод санным путем свести задачу В. и. к интегрирешения таких вопросов был создан в 18 в. рованию нек-рого дифференциального уравЭйлером и Лагранжем, при чем последний нения второго порядка. В нашем случае и дал ему название вариационного общий интеграл получаемого уравнения есть исчисления (Calcul des variations). х-b х-Ь Позднее методы В. и. были усовершенствоу=(1\е~“ + (2) ваны и обобщены Гауссом, Пуассоном, Якоби, Вейерштрассом, Гильбертом и др.
Ознакомиться с методом В. и. удобно на где а и Ъ — постоянные интеграции, к-рые примере одной из классических простейших легко определить, зная, что линия должна задач. Пусть на плоскости дана прямо
проходить через две данные точки. Полуугольная система координат и в ней две ченная кривая называется цепной литочки А (г0, yQ) и В (а? х, уг). Требуется со
нией, а соответствующая поверхность единить эти две точки такой линией, к-рая вращения — катеноидом, который, при вращении около оси х образовала бы таким образом, и является наименьшей понаименьшую поверхность вращения. Если верхностью вращения.
y=zf(x) есть уравнение искомой линии, то Чтобы лучше выяснить сущность задачи функцию f(x) необходимо найти с таким В. и. и метода ее решения, мы рассмотрели расчетом, чтобы интеграл, выражающий ве
одну из простейших задач, на которых соличину этой поверхности: здалось В. и. В общем виде эта простейшая задача может быть формулирована следующим образом: требуется разыскать та= 2тг С ’ ?/j/ 1+#'2 dx (1) кую функцию y=f(x), при которой интеграл
наблюдается угол, к-рый магнит с течением времени образует с горизонтом. — В последнее время появились новые вариационные приборы, позволяющие измерять сравнительно небольшие пространственные изменения магнитных элементов. К таковым относятся вариометры для горизонтальной и вертикальной составляющих, сконструированные А. Шмидтом и изготовляемые фирмою Бамберга в Германии.
