если (1) есть з. п. Б. р., а ряд &1+&2+&з+---+ + Ьп + ... имеет такие члены, что абсолютная величина (или модуль в случае комплексных чисел) каждого числа bt не превышает числа af, и если ряд (1) при этом сходится, то и второй ряд сходится; если же (1) расходится, а члены bi второго ряда имеют положит, значения, которые больше соответствующих членов ряда (1), то и второй ряд расходится. На этом методе сравнения строится вся без исключения теория сходимости рядов. Для суждения о сходимости ряда составляют целесообразно подобранный другой з. п. Б. р. с бблыпими (по абсолютной величине) членами, но более простого строения. Если удается построить такой «мажорантный» ряд так, что он сходится, то сходится и данный ряд. Если, напротив, удается построить з. п. Б. р. с меньшими членами, расходимость к-рого легко устанавливается, то расходится и данный ряд. Пользуясь, напр., в качестве мажорантного ряда геометрической прогрессией, Коши устанавливает теорему: если отношение двух последовательных членов Б. р. ап+1: ап стремится к пределу, по абсолютной величине меньшему 1, когда п неограниченно возрастает, то ряд сходится; если же это отношение стремится к пределу, большему 1, то ряд расходится. Это — критерий уже гораздо более применимый. Но отношение последовательных членов может иметь своим пределом 1, может и вовсе не стремиться к определенному пределу, и тогда критерий вопроса не решает. Установлен ряд критериев, каждый из к-рых сложнее, но зато сильнее предыдущего: он может служить к решению вопроса, когда предыдущий критерий этого решения не дает. Такой прием был указан еще Коши (способ «сгущения» признаков, Verdichtungssatz); он был развит Абелем, Де-Морганом, Бертраном, Дю-Буа-Реймоном, Дини, а в последнее время доведен до высокой степени совершенства Прингсгеймом. Но еще Абель показал, что метод сравнения все же не может служить для исчерпывающего решения вопроса о сходимости ряда. Проф.
Киевского ун-та В. П. Ермаков дал чрезвычайно тонкий критерий сходимости (1871), но и он имеет свои сомнительные случаи.
Сумма членов Б. р., как она определена выше, существенно отличается от суммы конечного числа слагаемых. Как мы видели, сумма ряда 5 есть предел, к к-рому стремится когда п неограниченно возрастает. Но sn есть функция от п. Если мы существенно изменим порядок членов ряда, то sn будет уже другой функцией от п, к-рая может иметь другой предел или вовсе его не иметь.
Как сходимость ряда, так и значение суммы Б. р. может, т. о., зависеть от порядка, в к-ром расположены его члены. Из основной теоремы сравнения вытекает, что ряд во всяком случае сходится, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин или модулей его членов; в этом случае ряд называется абсолютно сходящимся. Сумма абсолютно сходящегося ряда действительно вполне аналогична сумме конечного числа слагаемых: она не зависит от порядка членов; она подчиняется такжесочетательному закону. Абсолютно сходящиеся ряды можно складывать, вычитывать, как угодно комбинируя слагаемые, т. — е. пользуясь всеми теми приемами, к-рыми мы пользуемся при сложении и вычитании многочленов. Абсолютно сходящиеся ряды можно также перемножать по правилу перемножения многочленов, т. — е. составляя ряд, в к-рый войдет произведение каждого члена первого ряда на каждый член второго ряда; еще Коши указал способ, по к-рому это проще всего выполняется. Но для рядов не абсолютно сходящихся все эти преобразования можно выполнять только при благоприятных условиях, предусматриваемых теорией сходимости рядов. Если, напр., ряд состоит из положительных и отрицательных членов, хотя и стремящихся к нулю, но не дающих сходимости отдельно для положительных и отдельно для отрицательных членов, то члены ряда можно расположить так, чтобы он имел какую угодно наперед указанную сумму. От пренебрежения всеми этими обстоятельствами и происходили те грубые ошибки первоначального применения рядов, к-рые привели к необходимости построения точной теории их.
Б. р-ы могут быть составлены не из чисел, а из функций одной или нескольких независимых переменных. Если члены ряда (1) суть функции независимой переменной ж, т. — е. ап=ап(х), то ряд может сходиться при одних значениях х и расходиться при других. Совокупность значений ж, для к-рых Б. р. сходится, называется областью сходимости ряда. Из функциональных рядов наибольший интерес представляют т. н. степенные ряды, т. — е. ряды вида «о + а1® + а2®2 + ••• +
- +•••
(5)
или, общёе, a0+a1(x-xfJ)+a2(x-x0) z+...+аЛ(ж-а? 0Г+..., (6) где коэффициентами а0. ах, а2,... ап ... служат постоянные числа, к-рые, каки независимая переменная х, могут иметь как вещественные, так и комплексные значения. Основная теорема о сходимости степенных Б. р. заключается в том, что областью сходимости для такого ряда всегда служит круг.
Это нужно понимать след, образом: если комплексные числа изображать точками плоскости установившимся методом (см. Комплексные числа), по к-рому число a+bi изображается точкой, имеющей число а своей абсциссой, а b своей ординатой. — то совокупность точек, в которых ряд (6) сходится, всегда образует круг, центром к-рого служит точка хо (круг сходимости).
Впрочем, радиус этого круга может иногда обращаться в нуль — и тогда ряд сходится только при х=хо, а иногда — в бесконечность, и тогда ряд сходится при любом значении х.
Если радиус круга сходимости конечный, то во всякой точке, лежащей внутри круга сходимости, Б. р. сходится абсолютно; на периферии же этого круга он может сходиться сплошь во всех ее точках, может сходиться в одних точках периферии и расходиться в других, может и расходиться на всей периферии. То обстоятельство, что внутри круга сходимости степенной ряд сходится абсолютно, делает возможным и чрезвычай-
