жение в области математики» (слова Френкеля) получило в наст, время название интуиционизма (см.). Такие идеи диалектиками высказывались уже раньше; на математическом материале их в настоящее время настойчиво защищает целая школа математиков, возглавляемая Брауэром и Вейлем; в России эти взгляды были твердо высказаны еще в 1896 С. О. Шатуновским. Сущность этих воззрений заключается в следующем. Закон исключенного третьего гласит: «из двух суждений «А есть В» и «А не есть В», одно необходимо справедливо (истинно)». Да, конечно, это так, — возражают интуиционисты, — если в этих суждениях субъект А есть один элемент мн-ва, конкретно нам заданного, доступного нашему созерцанию (интуиции), а потому конечного. Если же речь идет о Б. — б-их мн-вах, к-рымц оперирует математика, то они определены логически., а потому остается вопрос, содержится ли в этом определении достаточно данных, на основе к-рых относительно каждого элемента А можно было бы утверждать, что он есть В или не есть В. Так, если в плоскости прямая АВ не встречает прямой CD, то, на основании тех положений, коими множество прямых определялось в Евклидовой геометрии, не было возможности дать ответ, есть ли CD — единственная прямая, проходящая в плоскости через точку С и не встречающая АВ, или нет. Чтобы этого избежать, Евклидом был введен специальный постулат, отвечающий на этот вопрос утвердительно. Сообразно этим взглядам, всякое математическое построение должно исходить от объектов и положений, интуитивно, т. — е. на опыте, нами воспринимаемых; таковыми являются, напр., целые числа, выражающие мощности нам интуитивно доступных групп. Математическая дисциплина должна из этого материала создаваться конструктивным путем, т. — е. путем операций, число к-рых должно быть не только конечным, но доступным предвычислению (как это, напр., имеет место при рациональных действиях над рациональными числами). Всякое же построение, предусматривающее неограниченное число операций без указания момента, в к-рый они должны привести к цели, интуитивисты считают необоснованным. Это разрушает не только теорию Б. — б-их мн-в, но и очень многие построения классической математики. С. О. Шатуновский потратил свыше 10 лет, чтобы в этом направлении переработать алгебру («Алгебра, как теория сравнений по функциональному модулю»). Школы Брауэра и Вейля ставят себе задачей таким же образом переработать весь математический анализ и отмести все, что в эти рамки не укладывается. Они считают, что этой переработке поддается и многое из канторовой теории мн-в; но актуально Б. — б-му они места не оставляют. «Когда же с произвольной (а не закономерно определенной) последовательностью чисел мы перестаем соединять понятие о законченно готовом мн-ве; когда мы рассматриваем ее как нечто, находящееся в процессе становления, то понятие о континууме, как о мн-ве отдельных чисел и точек, падает;вместо него возникает представление о текущем (fliessend) процессе разложения континуума на неограниченное число интервалов, друг от друга отчетливо не отграниченных, частью даже друг друга пересекающих. Континуум лишается своего «атомистического» характера и становится «средой свободного становления» (Medium freien Werdens). Все методы и доказательства, к-рые основываются на законе исключенного третьего, лишаются содержания».
Так характеризует это направление Френкель. «Математика есть скорее действие, нежели учение», — так определяют свой взгляд сами интуиционисты. Общий диалектический характер этих воззрений не подлежит никакому сомнению; более того, они как бы знаменуют известное возвращение к диалектическим методам не только в области учения о Б. — б-ом и Б. — м-юм, но и во всей математике. Но при всем том было бы ошибочным считать интуиционистов последовательными диалектиками. Это видно из следующего обстоятельства. В 1900 Гильберт в своей речи на Парижском конгрессе математиков формулировал положение, к-рое тогда разделили, можно сказать, все математики.
Оно заключалось в том, что каждая математическая задача должна получить разрешение. Задача о квадратуре круга была в этом смысле решена, когда было показано, что циркулем и линейкой нельзя построить квадрата, равновеликого данному кругу.
Задача Ферма (см.) должна быть решена таким образом, что: а) либо будут обнаружены три целых числа х, у, z, связанные соотношением x*+yn=zn (п >2), Ь) либо будет доказано, что таких трех чисел не существует. Интуиционисты, отрицая закон исключенного третьего, вынуждены отвергнуть и положение Гильберта. Если бы это нужно было понимать только так, что условия задания могут оказаться недостаточными для определенного ответа, то этого, конечно, ни один математик не стал бы отрицать. Но если это идет дальше того, то это — агностицизм, с к-рым диалектик борется в корне. Т. о., интуиционисты, возглавляемые Брауэром и Вейлем — люди, как будто близко стоящие к диалектической логике, во всяком случае ею оперирующие, хотя бы и несознательно, становятся на агностическую позицию; их ' противники — формалисты, возглавляемые Гильбертом, — с этим решительно борются.
Гильберт идет в этом направлении так далеко, что ищет общих приемов, к-рые в принципе содержат возможность дать ответ на всякий математический вопрос.
Таковы противоречия, среди к-рых еще блуждает научная мысль не только в области учения об актуально Б. — б-ом, но и во многих основных вопросах математики.
Они ждут еще диалектиков, к-рые вскроют источники этих противоречий и проложат между ними путь, — и формалистов, к-рые отметут с этого пути все уклонения в сторону метафизики или логических ошибок.
Лит.: М. Cantor, Geschichte der Mathematik, Bd. П, 3 Aufl., 1913; Bd. Ill, 2 Aufl., 1901; H. Zeuthen, Geschichte der Mathematik im 16 und 17 Jahrhundert, «Abhandlungen zur Geschichte der mathem. Wissenschaften» Bd. 17, 1903; P. Man-
