74:7
БЕСКОНЕЧНО-БОЛЬШИЕ И БЕСКОНЕЧНО-МАЛЫЕ
своя арифметика, — правила действий; но они следуют иным законам, нежели действия обыкновенной арифметики; это вскрывает, т. о., источник остальных противоречий, к-рые связывались с Б. — б-ми числами.
Однако, далеко не все математики признают доказательство Цермело исчерпывающим, а вместе с тем остается еще открытым, охватывает ли ряд Кантора мощности всех мн-в или нет. Во всяком случае, к0 есть наименьшее Б. — б-ое число: оно совпадает с числом а (а=к0), выражающим мощность натурального ряда. Но есть ли с (число, выражающее мощность континуума) следующее Б. — б-ое число Xj (т. — е., имеет ли место равенство с=хх), — нет ли мн-ва, мощность к-рого содержится между а и с, — этот вопрос остается еще открытым. Кантор унес в могилу глубокую веру в справедливость равенства 0=^; но эта «задача континуума» еще остается нерешенной. Независимо от этого, идеи канторовской школы получили уже применение во всех отраслях математики. Веронезе и Гильберт построили трансфинитную геометрию, послужившую для доказательства независимости аксиомы Архимеда от других аксиом (см. Основания геометрии). Всюду, где выделяются в Б. — б-ом числе элементы мн-ва, требующего количественной характеристики, получили применение идеи теории множеств: в учете особых точек функций и кривых, в теории тригонометрических рядов, в расширении понятия об определенном интеграле, в теории линейных интегральных уравнений, в теории функций действительного переменного, в современной топологии.
По мере того, как накоплялся материал в области актуально Б. — б-их и расширялась область его применений, здесь стали нарастать сомнения, подобно тому, как они нарастали в области классического анализа в эпоху его развертывания. Теория Кантора имела задачей охватить все мн-ва. Но возможно ли говорить о всех мн-вах? В непрерывном течении времени самим ходом природы преобразовываются, формируются одни из других и вследствие этого исчезают мп-ва конкретных вещей. Непрерывно работающая человеческая мысль путем отвлечения и ассоциации создает новые мн-ва, глубоко меняя при этом и характер вновь возникающих мн-в (по сравнению с прежними). Между тем, всякая тенденция сделать какое-либо утверждение относительно всех мн-в явно или неявно содержит попытку остановить этот сложный диалектический процесс. Как бы в подтверждение этих соображений, со стороны ряда математиков (Рёссель, Цермело, Бурали-Форти, Заремба) были обнаружены противоречивые заключения, к-рые, несмотря на всю выдержанность канторовского построения, все же содержатся в учении о бесконечных мн-вах; прежде всего, это было обнаружено в утверждениях, относящихся к мн-вам всех мн-в и аналогичным понятиям; корни их можно найти уже в т. н. «рогатых» силлогизмах греческих софистов. Существенность этих возражений была признана всеми инфинитистами. Они играют здесь такую же роль, как и те возражения, к-рые в свое времябыли выдвинуты против классического анализа Б. — м-ых и требовали устранения.
Откуда эти непрекращающиеся осложнения на пути развития учения о Б. — б-их и Б. — м-ых? Вот, что говорит об этом Энгельс («Диалектика природы», примечания к «Анти-Дюрингу» в «Архиве К. Маркса и Ф. Энгельса», т. 2, стр. 151): «Подобно бесконечности позпаваемогЬ предмета, к-рый составляется из одних лишь конечных элементов (aus lauter Endlichkeiten), так и бесконечность абсолютно познающего мышления слагается из бесконечного количества конечных человеческих голов, к-рые совершают при этой бесконечной работе познания практические и теоретические промахи, исходят из неудач, односторонне неверных посылок, идут неверными, кривыми, ненадежными путями и часто даже не распознают истины, хотя и упираются в нее лбом (Пристли). Поэтому, познание бесконечного окружено двоякими трудностями и представляет собою по природе бесконечный асимптотический процесс». Совершенно справедливо, что на пути этого исследования трудности стоят двойные. Они коренятся в сложности исследуемого объекта, с одной стороны, и в недостаточно выкристаллизовавшемся процессе их анализа — с другой.
Какими средствами вырабатывалась теория мн-в? «Во всяком случае, не чисто фор-: мальным путем» — отвечает па этот вопрос Френкель (один из современных представителей канторовской школы). «Свойства Б. — б-их чисел, — говорит он, — были, так сказать, подслушаны (abgelauscht) у природы, их структура установлена с заданной необходимостью». Поэтому, когда полученные результаты вызвали справедливые возражения, то выход из положения стали, прежде всего, искать в контроле путем формальной логики, как это в свое время произошло с классическим анализом Б. — м-ых. Формаль-? ная логика должна своим стройным аппаратом проконтролировать диалектически накопленный материал и указать пределы, в к-рых результаты безусловно наделены. На этот путь действительно стали Рёссель, Цермело, Френкель и др. Эти математики имеют убеждение, что они отмели из учения о Б — б-ом все, что недостаточно строго, что ведет к противоречивым заключениям. Но аппарат, к-рым они оперируют, очень сложен и всеобщего признания не получил. В то время как школа Гаусса и Коши внесла в классический анализ кристаллическую ясность, работы названных математиков остаются мало доступными даже для людей, близко к их идеям стоящим. В начале текущего столетия с совершенно другой стороны возникли возражения иного рода, углубившие и осложнившие проблему. Это были возражения против самой формальной логики. Но если диалектики возражали против формальной логики потому, что считали ее слабым орудием в процессе необходимого для создания научных теорий предварительного накопления фактического материала, то новые возражения были направлены против нее по существу, были направлены против т. н. закона исключенного третьего. Это «повое революционное дви-
