(имеет ту же мощность). Если бы, напротив, неизбежно оставались лишние чернильницы, то это бы означало, что мн-во Ч имеет большую мощность, чем мн-во У. Вышеприведенные примеры выясняют, что мн-во точек окружности эквивалентно мн-ву радиусов круга. Каждое мн-во, конечно, эквивалентно самому себе; требуемое соответствие можно произвести так, чтобы каждый элемент соответствовал самому себе, можно это выполнить и многими другими способами. Но замечательно то, что существуют мн-ва, к-рые эквивалентны своим частям, не охватывающим всего мн-ва. Так, приведенная выше таблица устанавливает линиями одно-однозначное соответствие между всеми числами натурального ряда и четными числами того же ряда. Мн-во всех натуральных чисел, т. о., эквивалентно мн-ву четных чисел, т. — е. такой части натуральных, к-рой оно не исчерпывается. Если каждому целому числу отнести, в качестве соответствующего, его квадрат, то мы убедимся, что мн-во чисел натурального ряда эквивалентно мн-ву полных квадратов, входящих в состав натурального ряда. Количество этих примеров можно, конечно, умножить. В примере Больцано, изображенном на рис. 8, мы можем смотреть на отрезок А'В', как на часть отрезка АВ, приподнятую к вершине; следовательно, мн-во точек, заполняющих отрезок, эквивалентно мн-ву точек, образующих любой меньший отрезок.
Эта особенность таких мн-в, как натуральный ряд чисел или точки отрезка, и рассматривается Кантором, как характеризующая бесконечность этих мн-в. Иными словами, согласно определению Кантора, м н-в о называется бесконечным, если оно эквивалентно такой своей части, к-рою оно не исчерпывается. Еще иначе, Кантор называет мн-во бесконечным, если оно может быть приведено в совершенное соответствие с такою своей частью, к-рой оно не исчерпывается. Нельзя себе, представить мн-во, к-рое прежде интуитивно называли бесконечным, и к-рое под это определение не подходило бы. Напротив того, мн-во называется конечным, если оно не может быть приведено в одно-однозначное соответствие с такой своей частью, к-рой оно не исчерпывается. Понятие конечного мн-ва противополагается бесконечному и определяется путем двойного отрицания, а не наоборот, как это было бы естественно ожидать. Т. о., Кантор имел смелость ту именно особенность Б. — б-ого мн-ва, к-рая рассматривалась, как главный источник противоречий, принять за то свойство, которым бесконечное мн-во определяется.
Для характеристики мощности мн-в служат целые числа. Натуральными числами характеризуются мощности конечных мн-в.
Для характеристики бесконечных мн-в Кантор строит трансфинитные числа. В канторовом определении конечных и бесконечных мн-в заложено основание для синтеза, сводящего целые и Б. — б-ие числа в одно мн-во кардинальных (количественных) чисел и приводящего тезу (Б. — б-ое число есть количественное, т. — е.целое число) в согласие с антитезой (Б. — б-ое число не имеет свойств целых чисел). В канторовой системе трансфинитных чисел мощность всего натурального ряда характеризуется числом, к-рое теперь обычно обозначают готической буквой а. Иными словами, сказать, что мощность нек-рого бесконечного мн-ва выражается числом а, значит сказать, что это мн-во эквивалентно натуральному ряду. Многообразие, имеющее такую мощность, называется «исчислимым» мн-вом, потому что его элементы можно перечислить, перенумеровать, приписав каждому определенный номер. Вопрос теперь заключается в том, все ли бесконечные мн-ва имеют одинаковую мощность, или нет. Кантор, прежде всего, указал весьма большое число мн-в, имеющих мощность а.
Что удивительнее всего, эту мощность, как оказалось, имеет мн-во всех рациональных чисел, несмотря на то, что их, казалось бы, неизмеримо больше, чем натуральных чисел.
Но мн-во всех действительных чисел, непрерывно заполняющих данный интервал, как и мн-во всех точек непрерывного отрезка, оказывается, имеет уже бблыпую мощность. Многообразие этой мощности, к-рую теперь обозначают через с, называется континуумом. Хотя, на первый взгляд, совокупность точек, непрерывно заполняющих квадрат, должна бы иметь бблыпую мощность, чем континуум, но это не так. Мн-во точек квадрата или куба также представляет собою континуум. Но мн-во всевозможных кривых на плоскости имеет уже более высокую мощность, к-рую обозначают через f. Впрочем, кривую нужно здесь понимать в очень широком смысле этого слова, — будет, поэтому, правильнее сказать, что в аналитической интерпретации мощность f имеет мн-во всех однозначных функций F(x).
Обнаружив, т. о., бесконечные мн-ва различных мощностей, Г. Кантор поставил себе задачей установить такой комплекс трансфинитных чисел, при помощи к-рых можно было бы выразить мощность любого Б. — б-го мн-ва, подобно тому, как числами натурального ряда выражается мощность любого конечного мн-ва. Эта грандиозная задача требовала прежде всего углубления самого учения о мн-вах (см. Множества), гл. обр., с целью установления возможных типов порядкового расположения элементов мн-ва. Для т. н. упорядоченных множеств (см.) сам Кантор уже установил такую шкалу трансфинитных чисел. Кантор обозначает их буквой к еврейского алфавита с последовательными индекс ми к0, х2,... ки...
Кантор показал, что мощность каждого упорядоченного мн-ва выражается одним и только одним из чисел этого рода. Гораздо более сложным оказался вопрос о том, возможно ли «упорядочить», т. — е. привести в требуемое порядковое расположение, элементы любого мн-ва. Цермело дал (1908) утвердительный ответ на этот вопрос; если доказательство Цермело правильно, то грандиозная задача Кантора исчерпана, и арифметика Б. — б-их чисел приведена в единое целое с арифметикой конечных чисел.
Для трансфинитных чисел установлена и
