тисты на это указывали, что количество целых чисел, а тем более количество всех рациональных чисел, всех вообще действительных чисел, — количество точек на прямолинейном отрезке, а тем более на всей прямой, — количество прямых на плоскости, количество плоских сечений тела, количество моментов времени в данном промежутке и т. п. — нельзя не признать Б. — б-им. На это финитисты возражали, что числа, точки, линии, моменты времени — суть наши отвлечения, и что об их бесконечности можно говорить только в том смысле, что мы их можем себе представить в неограниченном количестве возникающими, т. — е. в смысле потенциальном. Никаких же оснований утверждать, что реальные, материальные тела существуют в неограниченном количестве, мы не имеем. Нет даже возможности с полной уверенностью утверждать, что вселенная имеет бесконечное протяжение.
Разве только истекшее время не отказывались признать Б. — б-им; но затем здесь начинались обыкновенно метафизические споры о сущности времени, к-рых математики, естественно, избегали. Немало путаницы вносили в это дело богословы j подходившие к этому вопросу с двух точек зрения. Одни утверждали, что богу присущи все совершенства в бесконечном размере, а потому действительное существование Б. — б-ого в природе не подлежит сомнению, и математикам надлежит его изучать. Э’Гой аргументацией пользуется даже каноник Больцано, ценность и глубина математических исследований которого стоит вне сомнений («Парадоксы бесконечного»). Другие считали бесконечность присущей только богу, а потому признавали еретической всякую попытку искать Б. — б-ое вне бога. Возражения против актуально Б. — б-го черпались, далее, в тех многообразных противоречиях, к-рые это понятие с собою приносило.
Здесь эти противоречия еще резче* еще разнообразнее, нежели в учении о Б. — м-ом.
В особом сочинении «Парадоксы бесконечного» (1851) Больцано подверг их тонкому разбору. Тщательный анализ, однако, обнаруживает, что все они сводятся к трем типам. Противоречия первого типа, это — то же расхождение с законом тождества, на к-ром концентрировались противоречия Б. — м-ых. Если мы будем считать, скажем, луч ОА (рис. 7) актуально Б. — б-им (Z) и 0, 0 А к нему присоединим : 1 г. еще отрезок ОО'(Г), е
4 то получим луч Рис. 7.
О'А (L + I). Между тем, луч ОА достаточно сдвинуть, чтобы совместить его с лучем О'А, так что . необходимо признать L + 1 — L. Если аналогичное равенство в области Б. — м-ого можно было рассматривать, как приближенное, если его там путем перехода к пределу можно было вовсе избегнуть, то здесь его приходится признать действительно вполне имеющим место. Написав таблицу 1, 2, 3, 4, 5...
2, 4, 6, 8, 10...,мы отчетливо видим, что на каждое целое число приходится четное число и, следовательно, «число четных чисел равно числу всех чисел», тогда как одно должно было быть вдвое меньше другого. Особенное значение получало следующее соображение, впервые приведенное Больцано. На данном отрезке АВ (рис. 8), как на основании, построим треуголь0 ник АОВ и в нем ж проведем отрезок А'В', параллельный АВ. Взяв отрезок / \ достаточно близко / / \
к вершине, мы его / / \
можем сделать сколь / \ угодно малым.
/ / \ Проектируя произ/ \ вольную точку М' / / \ отрезка А'В' из / / \ вершины на основа- / / \ ние, мы получим / / ________ \ определенную точку л м в М на отрезке АВ. рИс. 8.
Каждой точке М на АВ соответствует,^ о., определенная точка М' на А'В' и обратно; выражаясь обычным языком, приходится сказать, что отрезок А'В' содержит столько же точек, сколько АВ, хотя первый отрезок представляет собою часть, при желании, сколько угодно малую, отрезка АВ. Все противоречия этого типа сводятся к тому, что Б. — б-ие величины равны своим частям. Их особенно выдвигал Коши, и потому их часто называют парадоксами Коши.
Противоречия второго типа обнаруживаются при попытках вскрывать в бесконечном числе свойства конечных чисел.
Б. — б-ое число, как число объектов нек-рой совокупности, должно быть рассматриваемо, как число целое; между тем его нельзя признать ни четным, ни нечетным, — ни простым, ни составным. Б. — б-ое число остается Б. — б-им, если к нему прибавить какое угодно число. Между тем, если всегда оперировать над бесконечностью, как над одним и тем же числом, то тоже придем к абсурду. Следующее соображение этого рода представляется очень грубым: т. к.
2. оо=1. оо* то* сокращая на оо, получим 2 = 1. Между тем, на этом рассуждении, в замаскированном виде проводимом, основывают множество математических парадоксов.
Наконец, противоречия третьего типа возникают при производстве над конечными числами операций в Б. — б-ом числе по правилам, установленным для конечного числа их.. Напр., сумму Б. — б-го числа слагаемых 1—2+4—84—16—324—64 — ... можно представить в виде 1 + ( — 2+4) + (-8+16) + ( — 32+64) + ...= =1+2+8+32 + ...=4~оо или же в виде: (1—2)+(4—8) + (16—32) +... = — 1—4 — — 16—64...= — оо Т. о., +оо оказывается равной — оо. Этому находили еще подтверждение в том, что функции часто принимают одновременно 24*
