формальное выражение в равенстве U4 — u= U (при и неравном нулю), и составление такого рода равенства возводилось в правило, в принцип. То особое качество, к-рое получала Б. — м-ая и благодаря углублению количественной разницы, отличавшей ее от U, в том именно и заключалось, так именно и формулировалось, что ее можно безнаказанно прибавлять к отдельным членам равенства или отбрасывать от них, не нарушая этого равенства. В этом неслыханном нарушении святая святых формальной логики — закона тождества — коренились источники необычайных завоеваний исчисления Б. — м-ых. Но чрезмерное увлечение часто заводит смелую мысль за пределы возможного; достижения и ошибки устанавливают ту линию, к-рая ее направляет среди проникающих друг друга противоречий, приводит эти противоречия к синтезу, примиряет их до нового обострения, — такова логика диалектического процесса. В истории науки не было такой отрасли и такого периода, к-рые были бы проникнуты противоречиями в такой мере, как эпоха складывающегося исчисления Б. — м-ых — от Лейбница и Ньютона до Эйлера. Французский математик Флёри написал большую книгу, посвященную тому, к каким чудовищным выводам приходили и можно приходить, как он выражается, «еп leibnizant» (рассуждая по Лейбницовски). Но вряд ли история науки знает период более плодотворного творчества. Однако, когда в области математики стихийные завоевания начинают наталкиваться на растущие неудачи. ставящие даже под вопрос приобретенные достижения, то диалектическая логика временно уступает свое первенствующее место формальной. Последняя подвергает тщательному и тонкому анализу все результаты, добытые частью стихийно, частью без достаточно осторожной проверки; она проверяет правильность каждого синтеза в диалектическом процессе и устанавливает критерии правильности каждого нового приема и каждого достижения; этим она открывает более широкий путь здоровым, правильным методам и кладет конец ошибочным. В живой работе научной мысли нельзя, конечно, точно указать моменты, отделяющие один процесс от другого; в большой мере они идут совместно, проникая друг друга. Во многих отношениях сам Эйлер, несомненно, является формалистом.
Но в широких чертах в развитии метода Б. — м-ых формальный анализ начинается после Эйлера. Он начинается с сочинения Лагранжа «Legons sur le calcul des fonctions» («Лекции по исчислению функций», 1801), в котором автор ставит себе задачей без помощи Б. — м-ых достигнуть многих из тех результатов, которые получены методами Лейбница и Ньютона; Гаусс и Коши ставили себе задачу формального построения исчисления Б. — м-ых во всех своих сочинениях; в школе Вейерштрасса она получила свое завершение; небольшая, как будто, работа Дедекинда «Stetigkeit und irrationale Zahlen» («Непрерывность и иррациональные числа», 1872, выдержала 4 издания по-русски), имела принципиальб. с. э. т. V.ное значение заключительного аккорда в том смысле, что остальное уже выполняется технически.
Принципиальные результаты этого столетнего процесса проверки сводятся к следующему: исчисление Б. — м-ых оперирует только с потенциально Б. — м-ыми; это суть переменные величины, к-рые в строго определенном процессе становятся менее любого заданного числа, как бы мало оно ни было. В такого рода процессе переменная величина часто приближается к определенному пределу (см.), т. — е. к постоянному значению, от к-рого она тем меньше отличается, чем дальше идет процесс. Построение понятия о пределе было тем синтезом, к-рым противоречия стихийного применения Б. — м-ых были устранены. Это понятие также нельзя считать новым; в первый раз оно встречается уже у Валлиса, но только Гаусс и Коши дали точное его определение и установили критерии правильного его применения. Две основные задачи исчисления Б. — м-ых заключаются в разыскании пределов, к к-рым стремится отношение Б. — м-ых или сумма Б. — б-го числа Б. — м-ых. Отбрасывать можно только такие Б. — м-ые, к-рые на эти пределы не оказывают влияния; для суждения об этом установлены надежные критерии. При соблюдении этих принципов метод Б. — м-ых не только не может привести к ошибкам, но является часто единственным надежным средством для изучения количественных соотношений между непрерывно изменяющимися величинами.
Что касается критерия, к-рым определяется, представляет ли Б. — м-ое у по отношению к У Б. — м-ое высшего порядка (т. — е. можно ли вместо У+у при разыскании таких пределов подставить У и наоборот), то он, по существу, заключается в следующем: Б. — м-ое у в нек-ром процессе является по отношению к У Б. — м-ым высшего порядка,
если у настолько меньше У, что отношение у в том же процессе стремится к нулю. В самом деле, пусть У и X будут две Б. — м-ые, отношение к-рых стремится к определенному пределу v. Можем ли мы здесь заменить У через У+у% Так как у±у=у(1+^) X
Xц У>' то мы можем ясно видеть, что и отношение У+у — стремится к тому же пределу v, у если — у- стремится к нулю (т. — е. при этом условии предел не меняется, когда мы заменяем У через У+у или наоборот). То обстоятельство, что условие, при к-ром у становится по отношению к У Б. — м-ым более высокого порядка (т. — е., как выяснено выше, приобретает другое качество), выражается таким простым количественным соотношением, служит опорным пунктом, на к-ром здесь возводит свои построения формальная теория. Самое применение здесь термина «качественное отличие» может казаться неуместным; оно может даже 24
