Страница:БСЭ-1 Том 05. Барыкова - Бессалько (1927)-2.pdf/162

Эта страница не была вычитана

жения: линия, двигаясь и деформируясь, образует’ фигуру; площадка — тело; но это  — не тот неограниченный процесс, к-рый превращает составляющие части в Б. — м-ые; это движение совершилось, создало данную фигуру, тело, и никакого влияния на математические рассуждения Кавальери не имеет. Измерение длины, площади и объема совершается путем сравнения неделимых одной и другой фигуры. Напр., площадь эллипса Кавальери вычисляет следующим рассуждением (рис. 5). На малой оси эллипса(Ъ) описываем окружРис. 4. ность и проводим хорды (неделимые), параллельные большой оси (а). Из определ’ения эллипса нетрудно вывести, что АА':ВВ'=а: Ь\ какаждый неделимый элемент эллипса относится к соответствующему неделимому круга как а: Ь. Следовательно, совокупность всех неделимых эллипса (т. — е. площадь эллипса) относится к совокупности неделимых круга (к площади круга гсб2), как а : Ъ; поэтому площадь эллипса равна nab.

Те же приемы Кавальери применяет к сравнению объемов; X-у - -естественно, что до- ( \ казательство равно  — j  — 4 великости пирамид, \ \ / J имеющих равнове\ у / ликие основания и равные высоты, у Рис 5 Кавальери заканчивается там, где у Архимеда оно только начинается. «Какое упрощение по сравнению с прежними авторами!»восклицает Кавальери.

И, действительно, удивительная интуиция Кавальери дала ему возможность получить результаты, до к-рых не дошел Архимед; но упрощенность его методов неоднократно приводила его то к неправильным, то к противоречивым результатам. Чтобы этого избежать, он старается каждое вычисление провести различными путями. Для длины эллипса он получает неправильное выражение проверка этого результата не дает, и Кавальери вынужден признать его приближенным.

С Кавальери в математике появляется, т. о., другой взгляд на Б. — б-ие и Б. — м-ые.

Бесконечное число неделимых, составляющих данный геометрический объект, есть актуальное, сущее, а не становящееся больше всякого определенного числа; вместо неограниченно убывающих Б. — м-ых здесь появляются неделимые, к-рые не могут быть получены делением на части образуемого ими объекта и сами дальнейшего деления не допускают. У философов эти идеи были в ходу уже раньше, и особое развитие получили в школе Фомы Аквинского: бесконечность приписывалась богу и от него распространялась на его творения, из к-рых каждое содержало нек-рую Б. — м-ую и неделимую часть его совершенства. Есть основание думать, что от Брадвардина, принадле 732

жавшего к школе Фомы Аквинского, заимствовал идеи о неделимых и Кавальери.

Во всяком случае, с этого времени актуально Б. — б-ие и Б. — м-ые проникают в математику, и с этого времени начинается спор между приверженцами актуально Б. — б-их (инфинитистами) и их противниками, признающими Б. — б-ие и Б. — м-ые только в потенции (финитистами); этот спор нельзя считать исчерпанным и в настоящее время.

Время, когда писал Кавальери, было эпохой уже широко развертывавшейся новой европейской культуры; в ту пору опубликовали уже свои замечательные исследования Декарт, Галилей, Паскаль. Новая геометрия, механика и физика ставили задачи, решение к-рых требовало применения Б. — м-ых. При этом рядом с задачами того типа, к-рыми в древности занимался Архимед, и к-рые требовали суммирования Б. — б-ого числа Б. — м-ых, возникли задачи другого типа.

Физическое тело называется однородным, если масса любой его части пропорциональна объему этой части. Отношение массы тела к его объему в этом случае представляет собою постоянную величину (т. — е. не зависит от взятого объема) и называется плотностью тела. Если тело н еоднородное, то о его плотности в целом невозможно говорить. Но если мы разрежем тело на весьма малые элементы, скажем, на весьма малые кубики, то распределение массы в пределах каждого кубика успевает измениться незначительно и притом тем меньше, чем меньше кубик.

Отношение массы, содержащейся в определенном кубике, к его объему характеризует среднюю плотность тела в кубике; если же мы будем кубик неограниченно уменьшать, сохраняя его центр в определенной точке тела Р, то мы будем приближаться к определенному числу, выражающему плотность тела в точке Р. Для нахождения плотности тела в каждой точке, нужно определить число, к к-рому приближается отношение массы окружающего эту точку Б. — м-го элемента к его объему, когда элемент этот неограниченно убывает. Мы здесь опять имеем две потенциально Б. — м-ые, неограниченно убывающие, и определяем их отношение. Процесс упрощения в той форме, как его тогда понимали, здесь заключался в том, что на протяжении Б. — м-ого элемента мы считаем тело как бы однородным, и это упрощение тем более законно, чем меньше становится элемент. Если мы изучаем не массу, а тепловую или электромагнитную энергию, содержащуюся в данном теле и неравномерно в нем распределенную, то для характеристики распределения энергии вокруг данной точки нам нужно будет таким же образом искать отношение Б. — м-ого количества энергии к элементу объема, в к-ром она содержится. Если же мы, наоборот, будем знать Б. — м-ое количество энергии, содержащееся в каждом элементе объема, то, суммируя по методу Архимеда, мы определим всю содержащуюся в теле энергию. И здесь упрощение заключается в том, что в пределах Б. — м-ого элемента мы