несоизмеримых отрезков всегда связано с изучением такого рода процесса, в к-ром число делений становится в указанном смысле слова Б. — б-им, а остаток — Б. — м-ым; приближенное же вычисление этого отношения основывается на том, что процесс последовательного деления в какой-либо момент обрывают и последний остаток приближенно принимают за общую меру этих отрезков. То же относится к разысканию отношения двух несоизмеримых значений какой угодно величины (площади, объема, массы); но это может еще осложняться другими обстоятельствами.
Вычисление объема какого-нибудь тела заключается в разыскании его отношения к объему куба, принятого за единицу меры.
Если измеряемым телом служит параллелопипед или вообще призма, то разыскание этого отношения может быть довольно простым рядом рассуждений приведено к последовательному делению, и задача об измерении призм этим разрешается в указанном выше порядке. Но уже в случае пирамиды на пути стоит новая трудность: систематическое откладывание куба на пирамиде становится невозможным вследствие более глубокого различия в форме этих тел. Вследствие этого даже установить равновеликость двух пирамид, имеющих общее основание и равные высоты, оказывается невозможным без особого своеобразного приема. Такой прием впервые предложил, повидимому, Евдокс.
Евклид в XII книге «Начал» осуществляет этот прием следующим образом (рис. 1). Через середину D одного из боковых ребер треугольной пирамиды он проводит три плоскости: одну DEF, параллельную основанию пирамиды, вторую — DGH, параллельную боковой грани SBC, и третью — DGF. Эти плоскости вырезывают из пирамиды 2 призмы DEFGBK и DGHFKC, которые в совокупности, как доказывает Евклид, Рис. 1. составляют больше половины пирамиды; остающиеся две пирамиды SDEF и DAGH, равные между собою и подобные исходной пирамиде, составляют, поэтому, по объему меньше половины исходной пирамиды. Теперь из каждой из этих двух щрамид можно совершенно таким же образом вырезать по две призмы; останутся 4 пирамиды, сумма объемов к-рых уже меньше х/4 объема исходной пирамиды. Этот процесс можно неограниченно продолжать, и он приводит к Б. — б-ому числу призм, постепенно исчерпывающих объем исходной пирамиды, т. — е. приводящих к Б. — м-ому остатку. Чтобы сравнить объемы двух пирамид, Евклид сравнивает объемы соответствующих призм, из них вырезываемых. Тот же процесс исчерпывания становится тем более неизбежным, когда мы обращаемся к плоским фи 726
гурам, ограниченным кривыми линиями, или к телам, ограниченным кривыми поверхностями. Для сравнения площадей двух кругов Евклид вписывает в каждый из них по квадрату и доказывает, что площадь этого квадрата превосходит половину площади круга; остающиеся 4 сегмента составляют вместе меньше половины площади круга; дополнив квадрат до правильного восьмиугольника, он обнаруживает, что остаток составляет уже меньше четверти круга ит. д. Исчерпывание осуществляется вписыванием Б. — б-ого числа правильных многоугольников, дающих Б. — м-ый остаток. Т. к. в двух кругах площади соответствующих многоугольников относятся, как квадраты радиусов, то Евклид отсюда заключает, что то же отношение имеют и площади кругов. Метод исчерпывания проходит через всю XII книгу «Начал» Евклида.
Он пользуется им для сравнения поверхностей и объемов круглых тел, но именно только для их сравнения: попыток суммировать площади или объемы, присоединяемые с каждым шагом этого процесса, и т. о. вычислить соответствующие площади или объемы — он не делает. На этот путь впервые стал Архимед. В сочинении «О квадратуре параболы» для определения площади параболического сегмента HLK (рис. 2) Архимед делит его д, L в основание НК на п равных частей НС19 СгС2, С2С3... и, восставив из точек деления перпендикуляры CiAjl, С2А2, С3А3... рассекает площадь, ограниченную параболой и хордой НК, на трапецоиды (т. — е. на трапеции с криволинейной верхней стороной). Вписав затем в параболу многоугольник НА^Лд..., он отсекает от каждого трапецоида СА А'С' трапецию того же наименования, пренебрегая сегментом (на рисунке заштрихованным). Сумма площадей всех трапеций исчерпывает площадь, ограниченную параболой, по мере того, как нарастает число п (т. — е., когда в этом процессе число трапеций становится Б. — б-им, а площадь каждой трапеции — Б. — м-ой). Архимед вычисляет сумму площадей трапеций при любом заданном п. Наконец, чтобы определить точное значение площади параболического сегмента, Архимед вместе с каждой входящей трапецией АС С'А' рассматривает и выходящую трапецию В С С'В'; искомая площадь такова, что при любом п она содержится между суммой площадей входящих и суммой площадей выходящих трапеций.
Одна коренная особенность этого приема должна быть отмечена. Определяемая площадь параболического сегмента делится на трапецоиды, которые затем заменяются трапециями путем отбрасывания дополнительных сегментов.
При неограниченном возрастании числа п как трапецоиды, так и трапеции и дополнительные сегменты становятся Б. — м-ми.
