Страница:БСЭ-1 Том 05. Барыкова - Бессалько (1927)-2.pdf/158

Эта страница не была вычитана


БЕСКИДЫ ЗАПАДНЫЕ и ВОСТОЧНЫЕ,

части Карпатских гор, см. Карпаты.

БЕСКИЛЕВЫЕ ПТИЦЫ, Ratitae, то же, что бегающие птицы (см.).

БЕСКНИЖНЫЙ УЧЕТ, в бухгалтерии, ряд отдельных форм счетоводства, не пользующихся при выполнении счетных работ обычными бухгалтерскими книгами, взамен к-рых применяются: а) карточки, б) свободные листы, после выполнения на них записей, складываемые в переплеты и, т. о., образующие впоследствии счетные книги, или в) книги, при записях в к-рые автоматически получаются копии на карточках, хранящихся отдельно и заменяющих собою ряд вспомогательных бухгалтерских книг (см. Бухгалтерия).

БЕСКОНЕЧНАЯ ДРОБЬ, дробь, имеющая неограниченное число десятичных знаков (см. Дроби).

БЕСКОНЕЧНАЯ НЕПРЕРЫВНАЯ ДРОБЬ,

непрерывная дробь, имеющая неограниченное число неполных частных (см. Непрерывные дроби).

БЕСКОНЕЧНО-БОЛЬШИЕ И БЕСКОНЕЧНО-МАЛЫЕ. Б. — б-им и Б. — м  — ым в

математике называют такое значение какой-либо величины (см.), которое есть или становится больше или, соответственно, меньше любого определенного (указанного) конечного значения той же величины.

Двоякая связка  — «есть» или «становится»  — отмечает в самом определении две точки зрения на Б. — б-ое и Б. — м-ое, а термин «конечное» значение, фигурирующий в этом определении, составляет слабое его место, т. к. определение могло бы считаться удовлетворительным только в том случае, если бы значение этого термина было установлено предварительно. На этих двух пунктах, на двойственности определения и на недостаточной выясненности того, в чем, собственно, коренится разница между конечным и бесконечным, сосредоточены все трудности теории Б. — б-их и Б. — м-ых и все споры, развертывавшиеся вокруг этих понятий в ходе развития математики и не исчерпанные по настоящее время.

К понятию о Б. — б-ом множестве естественно привело окрепшее искусство счета.

Каково бы ни было число сосчитанных предметов, можно прибавить еще один предмет, и счет приведет к большему числу; количество чисел может, т. о., увеличиваться неограниченно, превосходя любое заданное число. Данный предмет, напр., данную линейку, можно разделить на любое число равных частей, каждую часть можно подвергнуть новому делению, неограниченно его продолжая. Это приводит к частям, число к-рых может быть сделано больше любого заданного числа (Б. — б.), а самые части становятся сколь угодно малыми (Б. — м.).

При всей простоте этих элементарных соображений они составляют основу учения о Б. — б-их и Б. — м-ых и их многообразных применений в современной математике.

Трудно указать эпоху, в к-рую они были осознаны и формулированы; во всяком случае, у Аристотеля они уже получили ясное выражение. Счет и повторное деление суть операции, в процессе к-рых число деленийможет быть сделано сколько угодно большим, а части деления могут быть сделаны сколь угодно малыми; слово же «бесконечно» обозначает лишь неограниченную возможность продолжать этот процесс.

Сообразно этому Б. — б-ие и Б. — м-ые величины существуют только потенциально (potentia  — возможность, по-гречески ev duvapisi), а, так сказать, в выполненном, готовом, актуальном виде они не существуют. «Следовательно, — говорит Аристотель, — Б. — б-ое и Б. — м-ое не может быть рассматриваемо, как отдельная определенная вещь, напр., как человек, дом и т. п., но как нечто, всегда пребывающее в процессе нарастания или убывания и, хотя конечное в каждый определенный момент, но постоянно меняющееся от момента к моменту». «Бесконечное заключается, т. о., в возможности безграничной смены одного другим, подобно сменяющим друг друга дням Олимпийских игр». — «Бесконечное проявляется, в различных формах во времени, в делении величин, как нечто, над чем мы непрерывно оперируем, конечное в каждый момент, но в каждый же момент уже другое, чем в предыдущий» (Physica, III, 6). Эта точка зрения на понятие, как на нечто, не статически существующее, но связанное с процессом непрерывного изменения, была в новейшее время Гегелем, Марксом и Энгельсом распространена далеко за пределы Б. — б-их и Б. — м-ых и в своем развитии, которое очерчено ниже, известна под названием диалектической.

В применении к Б. — б-им и Б. — м-ым диалектическая (динамическая, потенциальная) точка зрения неизменно укреплялась по мере развития этих понятий и расширения области их применения. Вслед за счетом и повторным делением, Б. — б-ие и Б. — м-ые появляются в геометрии в процессе измерения (см.) или установления отношения двух значений какой-либо величины.

Чтобы найти отношение, скажем, двух отрезков, нужно отыскать их общую меру, т. — е. отрезок, содержащийся в каждом из них целое число раз; а для этого нужно меньший отрезок отложить на большем столько раз, сколько уложится; если получится остаток, то его нужно откладывать на меньшем отрезке, второй остаток — на первом и т. д.; остаток, к-рый отложится в предыдущем целое число раз, и представляет собою общую меру наших двух отрезков. Этот прием, известный под названием цоследовательного деления и получивший чрезвычайно многообразные применения во всех отраслях математики, также был известен уже в глубокой древности. Более того, уже пифагорейцы хорошо знали, что он не всегда приводит к цели, т. — е. возможны случаи, когда последовательное деление никогда не даст остатка, откладывающегося целое число раз в предыдущем; такой случай имеет, напр., место, когда мы ищем отношение диагонали квадрата к его стороне. В таком случае число последовательных делений становится Б. — б-им, а последовательные остатки  — Б. — м-ми; сравниваемые же отрезки в этом случае несоизмеримы. Всякое исследование