нах, родоначальником к-рых его считают: 1) Он положил начало комбинаторике (см.), т. — е. теории соединений, и дал многочисленные ее приложения к построению и суммированию бесконечных рядов. 2) В теории вероятностей он дал основную теорему (см. Бернуллиева теорема). Работы по комбинаторике и теории вероятностей сосредоточены Яковом Б. в сочинении «Ars conjectandi», к-рое было опубликовано уже после его смерти (1713) его племянником Николаем Б. В этом же сочинении указаны методы вычисления сумм 1 n+ 2n+...+m« при помощи чисел, к-рые, по почину Муавра, получили наименование Бернуллиевых чисел (см.). 3) Учению о бесконечных рядах Яков Б. посвятил 5 больших работ. 4) Вместе с братом Иоанном, он заложил основы вариационного исчисления. Полное собрание сочинений Якова Б. («Opera omnia mathematica»), в двух томах, было издано в 1744, в Женеве.
Иоанн Б. (1667—1748), проф. математики в Гронингенском, а затем — Базельском ун-тах, особенно много работал в области развития исчисления бесконечно малых. В 1692 составил первое руководство по исчислению бесконечно малых, к-рое, однако, было опубликовано только в 1742; ввел в употребление знак интеграла, к-рым мы поныне пользуемся. Ему принадлежит общий метод интегрирования рациональных дифференциалов путем разложения их на элементарные дроби. С 1693 Иоанн Б. вел переписку с Лейбницем, явившуюся своеобразной формой совместного творчества.
В 1694 им были даны впервые систематические соображения о составлении обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка и об их интегрировании. Но главная заслуга Иоанна Б. заключалась в том, что он поставил задачу о брахистохроне (см.) и дал ее решение (1696), чем заложил, вместе с Яковом Б., основы вариационного исчисления. Этому особенно содействовало решение той же задачи, данное Яковом Б., и поставленная последним изопериметрическая задача (см.). По поводу решения этой задачи между братьями завязался спор, окончившийся только со смертью Якова Б.
В пылу этого спора братья задавали друг другу труднейшие задачи, в решении к-рых принимали участие самые выдающиеся математики того времени, и так. обр. развертывалось вариационное исчисление. Полное собрание сочинений Иоанна Б. («Opera omnia») было издано в Женеве в 1742. Год спустя там же была опубликована в 2 томах его переписка с Лейбницем, имеющая большое значение для истории науки.
Даниил Б. (1700—1782), член Петербургской академии наук по кафедре меха 694
ники, позлее проф. в Базеле, работал уже в пору, когда основы анализа получили значительное развитие и быстро находили себе применение к механике. Особенно ценны его открытия в области гидродинамики, где до сих пор сохранила его имя основная теорема, устанавливающая связь между давлением и скоростью в каждой точке струи тяжелой жидкости. На этой теореме основана вся современная гидравлика,.
Из остальных членов семьи Б. крупное значение имели: 1) Николай! Б.
(1687—1759), племянник Якова и Иоанна, проф. математики в Падуе и в Базеле; 2) Н ик олай II Б. (1695—1726), старший сын Иоанна Б., проф. математики в Петербурге; 3) Иоанн II Б. (1744—1807), племянник Даниила Б., 19 — ти лет от роду занявший должность королевского астронома в Берлине, и, наконец, 4) Яков II Б.
(1759—1789), брат предыдущего, проф. математики и член Петербургской академии наук, поместивший ряд весьма ценных работ в «Nova Acta Academiae Petropolitmae». Утонул, по несчастной случайности, в Неве.
Лит.: R. Wolf, Biographien zur Kulturgeschichte der Schweiz, 4 B-de, 1858—1862 (обстоятельные биографии Якова и Иоанна Б.). Д. Зейлигер.
БЕРНУЛЛИЕВА ТЕОРЕМА, основная теорема в исчислении вероятностей, открытая Яковом Бернулли (см.), но опубликованная уже после его смерти («Ars conjectandi», 1713). Ее современное точное выражение, допускающее строгое математическое доказательство, заключается в следующем. Если при производстве нек-рых испытаний может появляться событие А, и вероятность появления этого события a priori есть р, если ап есть число появлений этого события на протяжении п испытаний, то с вероятностью, сколь угодно близкой к достоверности, можно утверждать, что отношение — будет при достаточно большом п сколь угодно мало отличаться от р. Это предложение систематически подтверждается статистическими исследованиями, в к-рых такого рода испытания действительно производятся. Отп, где ап уже л. число фактически ношение а — имевших место появлений события А, называется вероятностью a posteriori; статистические исследования обнаруживают, что вероятность a posteriori действительно тем меньше отличается от вероятности a priori р, чем больше число испытаний п. На этом основано применение Бернуллиевой теоремы к статистике. См. Большие числа> Вероятность, Статистика.
БЕРНУЛЛИЕВЫ ЧИСЛА, ряд чисел, названных по имени Я. Бернулли и имеющих значение в различных отраслях математики. Они служат для вычисления сумм одинаковых степеней целых чисел от 1 до (х — 1), т. — е. сумм вида £wl=lw,+2"4—3w-J-... 44- (х — 1)'\ Эта сумма выражается многочленом степени т+1 относительно х. Если положить т+1=п, то оказывается НЖП — 1n$n-i = хп- -g- + Сп
4 — Сп
+...+ (-!/-! Сп В^-*
+
