ми уравнениями, называются трансцендентными. Алгебраические кривые изучаются средствами алгебры, трансцендентные — более глубокими методами математического анализа.
Во-вторых, степень уравнения, к-рым выражается алгебраич. кривая в Декартовых координатах, тоже не зависит от выбора осей координат. Сообразно этому алгебраич. кривая, к-рая в Декартовых координатах выражается уравнением m-ой степени, называется кривой m-г о порядка.
Мы видели выше, что прямая выражается уравнением первой степени, если начало координат лежит на этой прямой. Степень уравнения не изменится, если перенесем начало в какую-угодно другую точку. Поэтому прямая есть линия первого порядка.
Очень простой анализ обнаруживает, что и обратно — всякая линия, к-рая выражается уравнением первой степени, есть прямая.
Не так просто обстоит дело с кривыми второго порядка. Мы видели выше, что окружность выражается уравнением второй степени (5) и, следовательно, представляет собою кривую второго порядка. Однако, окружность представляет только весьма частную разновидность кривых второго порядка, совокупность которых охватывает все, т. н., конические сечения (см.). Сущность анализа, к-рый приводит к этому заключению, сводится к следующему.
Как мы видели, окружность вообще выражается уравнением (5), к-рое, однако, принимает гораздо более простую форму (3), когда за начало координат принят центр окружности. Упрощение заключается в том, что уравнение (3) освобождено от членов, содержащих переменные хпув первой степени. Результатом этого, как было в своем месте выяснено, является то обстоятельство, что оси координат служат осями симметрии, а начало — центром симметрии кривой. Сообразно этому, общее исследование кривых второго порядка начинается с решения вопроса, всегда ли возможно путем перенесения начала координат освободить уравнение кривой от членов, содержащих координаты в первой степени.
Это оказывается возможным не всегда, и именно, это невозможно в том случае, если кривая второго порядка вовсе не имеет центра симметрии. Ближайшее исследование кривых второго порядка, не имеющих центра, обнаруживает, что они представляют собою параболы. Уравнение всякой другой кривой второго порядка, т. — е. имеющей центр, путем перенесения в центр начала координат может быть приведено к виду Ax2+Bxy+Cy2=D.
Самые коэффициенты меняются, когда мы, сохраняя начало координат в центре кривой, изменяем направление осей, т. — е. вращаем координатный крест вокруг центра; при этом всегда существует и такое его положение, при к-ром средний коэффициент В обращается в нуль. Уравнение кривой второго порядка, имеющей центр, т. о. приводится к простейшему или каноническому своему виду: Ax2+Cy2=D.
Здесь теперь возможны два случая: коэффициенты А и С имеют одинаковые знакиили различные. В первом случае мы можем считать эти коэффициенты положительными, т. к. знаки всех членов уравнения можно переменить на обратные; но в таком случае и D должно иметь положит, значение, т. к. иначе обе части уравнения не могут быть равными. Сумма двух положит.
членов Аа? и Су2 должна, т. о., сохранять постоянное значение D. Отсюда следует, во-первых, что каждый член не может быть больше D (т. — е. Ax^D, fel^VDfA, где /х/ есть абс. величина числа х и Су2 D, — /у/ VD]C)\ абсцисса и ордината точки на кривой заключаются в определенных пределах, — вся кривая занимает ограниченную часть плоскости. Во-вторых, когда Ах2 возрастает, то Су2 убывает; если поэтому х возрастает от нуля до наибольшего своего значения, то Су2 уменьшается от наибольшего значения до нуля, кривая все время опускается от высшей точки на оси ординат до низшей точки на оси абсцисс, (см. рис. 10). Кривая представляет собою
эллипс (см. Конические сечения). Если Л=С, то делением на общее значение этих двух коэффициентов уравнение может быть приведено к виду (3), — эллипс обращается в окружность.
Если коэффициенты А и С имеют различные знаки, то левая часть представляет собою разность, сохраняющую постоянное значение. Но при этом как уменьшаемое, так и вычитаемое могут неограниченно возрастать; кривая уходит своими ветвями, симметрично расположенными относительно осей координат, в бесконечность и имеет форму, изображенную на рисунке 11; бли-
