циссу а. Разыскав эту точку, мы можем установить значение ее ординаты у=Ь. Т. о на заданной кривой данному значению абсциссы отвечает определенное значение ординаты; выражаясь языком анализа, это означает, что у есть функция от ж, т. — е. «/=/(«); характером линии, ее геометрич. свойствами эта функция определяется. Иногда указанное выше построение приводит не к одной точке М, а к нескольким точкам М, М', М", как это имеет место на рис . 5; в этом случае у есть не однозначная функция от х, а многозначная. Можно было бы, конечно, разыскивать на данной линии точку, которая X имеет заданную ордиО нату у=Ь, и это рассуРис. 5. ждение привело бы нас к заключению, что абсцисса точки данной кривой есть функция ее ординаты: z=g(y). Существо дела заключается в том, что абсцисса и ордината каждой точки данной линии на плоскости связаны уравнением вида: Д*, У)=0; (1) разрешая это уравнение относительно у, можно выразить у, как функцию от гс; разрешая его относительно х, можно выразить х в функции от у. Два уравнения y=j(x) (2а) ®=<Ку) (2Ь) представляют собой только различные формы уравнения (1). Относительно этого уравнения говорят, что оно выражает данную линию.
Обратно, всякое соотношение между абсциссой и ординатой точки на плоскости вида (1) или (2) можно рассматривать как уравнение, выражающее линию на этой плоскости. В самом деле, выбрав произвольно значение ж, мы из уравнения (2а) получим соответствующее значение у и нанесем соответствующую этим координатам точку плоскости. Дав затем небольшое наращение абсциссе, получим новое значение ординаты и следующую точку плоскости; еще небольшое наращение абсциссы даст новую точку.
Чем мельче будут наращения абсциссы, тем гуще будут расположены одна за другой последовательно получающиеся этим путем точки. При непрерывном изменении абсциссы [и непрерывной функции /(я)] они дадут непрерывный ряд точек — линию на плоскости.
Каждая линия на плоскости выражается уравнением вида (1) или (2), связывающим координаты любой ее точки, и, обратно, каждое уравнение этого видав ыражает линию на плоскости. Такова вторая основная идея А. г. Значение обеих идей заключается в том, что они устанавливают тесную связь между геометрич. объектами и числами, между геометрическими соотношениями и числовыми зависимостями.Если задано уравнение линии, скажем, в форме (2а), т. — е. если функция /(я), выражающая ординату точки данной линии в зависимости от ее абсциссы, нам известна, то мы можем судить о форме линии: она подымается, когда ордината, т. — е. функция /(я), возрастает; когда /(ж) достигает максимума (на рис. 4 в точкеМ'), касательная к кривой становится горизонтальной, и затем кривая начинает опускаться вниз, и это идет тем круче, чем быстрее убывает функция /(я). Часто функция /(я) не для всех значений х дает действительное значение у; тогда область, в к-рой функция сохраняет действительные значения, определяет пределы, в которых расположена кривая вдоль оси абсцисс. Это будет выяснено ниже на примере.
Когда мы говорим, что линия выражается уравнением /(я, у)=0, то точка х=а, у=Ь лежит на этой линии в том — и только в том — случае, если ее координаты удовлетворяют этому уравнению, т. — е. если число /(а, Ь) есть нуль. Поэтому, чтобы разыскать точки пересечения двух линий, выражаемых уравнениями Мж>2/)=0 и /2(ж, з/)=0,
нужно найти те значения координат, к-рые удовлетворяют обоим уравнениям, т. — е. нужно эти два уравнения совместно решить.
Три линии, выражаемые уравнениями /10. 2/)=0, /2О. У)=0. /зО. У)=0>
имеют общую точку, если эти уравнения имеют общее решение, т. — е. если они совместны.
Т. о., изучение уравнения (1) или функций f(x) л g(y) в уравнениях (2) дает возможность исследовать форму и расположение линии, выражаемой этим уравнением; совместное решение системы уравнений, выражающих несколько линий, приводит к разысканию их общих точек, а более глубокое исследование такой системы устанавливает взаимное расположение линий. Это и есть аналитич. метод геометрич. исследования.
И, наоборот, если нам известен ход линии, то по ней мы можем судить об изменении функций в уравнениях (2) или об исходном уравнении (1). Графики и диаграммы (см.), к-рыми так часто пользуются на практике для наглядного изображения различного рода соотношений между зависящими друг от друга величинами, представляют собою первые простейшие применения этого метода. Связь между геометрич. свойствами линии и уравнением, ее выражающим, так глубока, что в А. г. установилось выражение: «кривая /(ж, у)=0».
Т. о., идеи Декарта спаяли в одно целое геометрию и анализ, учение о пространственных формах и о числовых зависимостях.
Они дали возможность, прежде всего, применить к исследованию геометрич. форм алгебру; по мере же развития более глубоких отраслей математич. анализа — геометрия приобретала в них мощные методы исследования. Геометрия, в свою очередь, давала почву и средства для развития этих дисциплин; вариационное исчисление, напр., почти целиком развилось на геометрическ.
